*-алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

*-алгебра (алгебра з інволюцією, алгебра з операцією спряження) — асоціативна алгебра з інволюцією, що має властивості подібні до комплексного спряження.

*-кільце

*-кільцекільце з унарною операцією * яка є

<math>\ (x + y)^* = x^* + y^*</math>
<math>\ (x y)^* = y^* x^*</math>
<math>\ 1^* = 1</math>
<math>\ (x^*)^* = x.</math>

Таке кільце ще називається — кільце з інволюцією.

*-алгебра

*-алгебра A це *-кільце, що є асоціативною алгеброю над іншим *-кільцем R, з узгодженням операції * в <math>R \subset A.</math>

Базове *-кільце це, зазвичай, комплексні числа (де * — комплексне спряження).

Тоді * є спряжено-лінійним, тобто

<math>(\lambda x+ \mu y)^* = \lambda^* x^* + \mu^* y^* \quad \lambda, \mu \in R; \;\; x,y \in A</math>.

*-гомоморфізм <math>\ f: A \to B</math> є гомоморфізм алгебр що відображає інволюцію в A на інволюцію в B, тобто:

<math>f(x^*) = f(x)^* \quad \forall x \in A.</math>

  • Елементи для яких <math>\ x^*= x</math> називаються само-спряженими, симетричними або ермітовими.
  • Елементи для яких <math>\ x^*=-x</math> називаються косо-спряженими, анти-симетричними або анти-ермітовими.
  • Можна визначити сесквілінійну форму за допомогою операції * у виді <math>\phi(x,y) = x^* \cdot y</math>.

C*-алгебра

C*-алгебраБанахова *-алгебра, для якої виконується C*–властивість:

<math> \|x^* x \| = \|x\|\|x^*\|,</math>
<math> \|x x^* \| = \|x\|\|x^*\|.</math>

Обидві умови є еквівалентними.

Також вони еквівалентні В*–властивості

<math> \|x x^* \| = \|x\|^2. </math>

Приклади

Властивості

Багато властивостей спряження для комплексних чисел зберігаються в *-алгебрах:

Дивись також

Шаблон:Ambox/coreШаблон:Category handler