Фонон

Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом. Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов кристалла.

Необходимость использования квазичастиц

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Фонон принадлежит к числу бозонов и описывается статистикой Бозе–Эйнштейна. Спин фонона принимает значение 0 (в единицах <math>\hbar</math>). Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твердых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причём наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.

Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке

В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы <math>m \ </math>, равновесные положения которых определяются вектором решётки:

<math>\mathbf{n}=n\mathbf{a}, \ </math>

где <math>n=1,2,...,N \ </math>. Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть <math>\xi_n \ </math> — одно из таких смещений атома, занимающего узел <math>n \ </math>. В потенциальной энергии <math>U \ </math> смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия будет:

<math>U=\frac{1}{2}\gamma \sum_{n=1}^N (\xi_n-\xi_{n-1})^2 \ </math>

Кинетическая энергия выражается через скорости смещений <math>\dot{\xi_n} \ </math> с помощью функции:

<math>K=\frac{1}{2}m\sum_{n=1}^N \dot{\xi_n}^2 \ </math>.

Введём циклические условия:

<math>\xi_n=\xi_{n+Na} \ </math>.

Одномерной решётке соответствует зона Бриллюэна в <math>\mathbf{k} \ </math>- пространстве с границами:

<math>-\pi \le \mathbf{k}a<\pi \ </math>.

Внутри этой зоны располагаются <math>N \ </math> неэквивалентных волновых векторов:

<math>\mathbf{k}=\frac{2\pi \mu}{Na^2} \mathbf{a}, \ </math>

где <math>\mu=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm\frac{N}{2} \ </math>. От смещений отдельных атомов <math>\xi_n \ </math> удобно перейти к новым обобщённым координатам <math>A_k \ </math>, которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определённым значениям <math>\mathbf{k} \ </math>. Для этого введём преобразование:

<math>\xi_n=N^{-1/2}\sum_{k=1} A_k \exp (i\mathbf{k}\mathbf{n}). \ </math>

Новые переменные должны удовлетворять условию:

<math>A_k=A_{-k}^* \ </math>.

Таким образом, потенциальная

<math>U=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \Omega^2(\mathbf{k})A_kA_{-k} \ </math>

и кинетическая энергия

<math>K=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \dot{A_k}\dot{A_{-k}} \ </math>,

где

<math>m\Omega^2(\mathbf{k})=m\Omega^2(\mathbf{-k})=4\gamma \sin^2\frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2} \ </math>

выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:

<math>\Omega(\mathbf{k})=\Omega(\mathbf{-k})=2\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|\sin \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \ </math>

Зная частоту фононов как функцию <math>\mathbf{k} \ </math>, можно вычислить фазовую <math>V_f \ </math> и групповую <math>V_g \ </math> скорости соответствующих элементарных возбуждений:

<math>V_f=\frac{\Omega(\mathbf{k})}{k}=\frac{2}{k}\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|\sin \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \ </math>

<math>V_g=\frac{d\Omega(\mathbf{k})}{dk}=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|\cos \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \ </math>

Акустические фононы

Длинноволновые возбуждения при <math>ka=\frac{2\pi a}{\lambda} \ll 1 \ </math> характеризуются величинами:

<math>\Omega(\mathbf{k})=ka\sqrt{\frac{\gamma}{m}}=kV_f \ </math>

<math>V_f=V_g=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ </math>.

Эти возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде. Скорость упругих волн (скорость звука) определяется в механике выражением:

<math>V_{ac}=\sqrt{\frac{E}{\rho_{1D}}} \ </math>,

где <math>E \ </math> — модуль Юнга, а <math>\rho_{1D}=\frac{m}{a} </math> — одномерная плотность среды. Модуль Юнга определяет отношение силы <math>\gamma(\xi_n-\xi_{n-1}) \ </math> к вызванной ею относительной деформации <math>(\xi_n-\xi_{n-1})/a \ </math>. Он равен

<math>E=a\gamma \ </math>.

Таким образом, акустическая скорость равна величине:

<math>V_{ac}=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ </math>.

Следовательно, рассматриваемые в пределе <math>ka \ll 1 \ </math> возбуждения совпадают с акустическими волнами в упругой среде. Поэтому эти возбуждения называются акустическими фононами.

Тепловые фононы

Тепловая энергия тела равна сумме энергий фононов (тепловых). Распределение фононов (тепловых) по состояниям при тепловом возбуждении в гармоническом приближении подчиняются статистике Больцмана.

Оптические фононы

Когда волновой вектор приближается к границе зоны Бриллюэна (<math>ka \to \pi \ </math> или <math>\lambda \to 2a \ </math>), то фазовая скорость будет равна величине:

<math>V_f \to \frac{2a}{\pi}\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ </math>,

а групповая скорость стремится к нулю. Эти элементарные возбуждения в твёрдом теле можно назвать оптическими фононами.

Акустические и оптические фононы

Файл:Diatomic phonons.png

Дисперсионные кривые для линейной двухатомной цепочки

Акустические фононы

Акустический фонон характеризуется при малых волновых векторах линейным законом дисперсии и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решетки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трехмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну. В центре зоны Бриллюэна (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов линейны.

<math> \omega_i = s_i k</math>,

где ω — частота колебаний, k — волновой вектор, а коэффициенты S_i — скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука .

Оптические фононы

Оптические фононы существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов. Эти фононы характеризуются при малых волновых векторах такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остается неподвижным. Энергия оптических фононов обычно достаточно велика (порядка 500 см⁻¹) и слабо зависит от волнового вектора.

Наряду с электронами, акустические и оптические фононы дают вклад в теплоёмкость кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно модели Дебая, кубически зависит от температуры.

См. также

• Звук

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация
• Шаблон:Публикация