Просмотр кода страницы Фонон

{{Квазичастица
 |цвет_фона               = 
 |имя                     = Фонон
 |изображение             = [[Файл:1D normal modes (280 kB).gif|thumb|275px]]
 |заголовок               = Нормальные моды колебаний в кристалле. Амплитуда колебаний была увеличена для удобства просмотра; в реальном кристалле, она обычно существенно меньше межатомного расстояния.
 |num_types               = 4
 |состав                  = [[квазичастицы|Квазичастица]]
 |классификация           = [[Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке]], [[Акустические фононы]], [[Оптические фононы]], [[Тепловые фононы]]
 |теоретически_обоснована = [[Тамм, Игорь Евгеньевич|Игорь Тамм]] в [[1932 год]]у
 |семья                   = [[Бозон]]<ref name="femto">[http://femto.com.ua/articles/part_2/4346.html Энциклопедия физики и техники: Фонон]</ref>
 |группа                  = [[Квант]] (колебательного движения [[атом]]ов [[кристалл]]а)
 |спин                    = 0
}}

'''Фоно́н''' — [[квазичастица]], введённая советским учёным [[Тамм, Игорь Евгеньевич|Игорем Таммом]]. Фонон представляет собой [[квант]] колебательного движения [[атом]]ов [[кристалл]]а.

== Необходимость использования квазичастиц ==
Концепция фонона оказалась очень плодотворной в [[физика твёрдого тела|физике твёрдого тела]]. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие [[термодинамика|термодинамические]] явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы [[звук]]овых [[Волна|волн]], квантами которых и являются фононы. Фонон принадлежит к числу [[бозон]]ов<ref name="femto"/> и описывается [[Статистика Бозе — Эйнштейна|статистикой Бозе–Эйнштейна]]. [[Спин]] фонона принимает значение 0 (в единицах <math>\hbar</math>). Фононы и их [[Электрон-фононное взаимодействие|взаимодействие с электронами]] играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике [[сверхпроводник]]ов, процессах [[теплопроводность|теплопроводности]], процессах рассеяния в твердых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причём наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы. <!-- При температуре T=0 K число фононов равно нулю, а при повышении температуры число фононов возрастает пропорционально T<sup>3</sup>. -->

== Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке ==
В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы <math>m \ </math>, равновесные положения которых определяются вектором решётки:
: <math>\mathbf{n}=n\mathbf{a}, \ </math>
где <math>n=1,2,...,N \ </math>. Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть <math>\xi_n \ </math> — одно из таких смещений атома, занимающего узел <math>n \ </math>.
В потенциальной энергии <math>U \ </math> смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия будет:
: <math>U=\frac{1}{2}\gamma \sum_{n=1}^N (\xi_n-\xi_{n-1})^2 \ </math>
Кинетическая энергия выражается через скорости смещений <math>\dot{\xi_n} \ </math> с помощью функции:
: <math>K=\frac{1}{2}m\sum_{n=1}^N \dot{\xi_n}^2 \ </math>.
Введём циклические условия:
: <math>\xi_n=\xi_{n+Na} \ </math>.
Одномерной решётке соответствует [[зона Бриллюэна]] в <math>\mathbf{k} \ </math>- пространстве с границами:
: <math>-\pi \le \mathbf{k}a<\pi  \ </math>.
Внутри этой зоны располагаются <math>N \ </math> неэквивалентных волновых векторов:
: <math>\mathbf{k}=\frac{2\pi \mu}{Na^2} \mathbf{a}, \ </math>
где <math>\mu=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm\frac{N}{2} \ </math>.
От смещений отдельных атомов <math>\xi_n \ </math> удобно перейти к новым обобщённым координатам <math>A_k \ </math>, которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определённым значениям <math>\mathbf{k} \ </math>. Для этого введём преобразование:
: <math>\xi_n=N^{-1/2}\sum_{k=1} A_k \exp (i\mathbf{k}\mathbf{n}). \ </math>
Новые переменные должны удовлетворять условию:
: <math>A_k=A_{-k}^* \ </math>.
Таким образом, потенциальная
: <math>U=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \Omega^2(\mathbf{k})A_kA_{-k} \ </math>
и кинетическая энергия
: <math>K=\frac{1}{2}m\sum_{k=1} \dot{A_k}\dot{A_{-k}}  \ </math>,
где
: <math>m\Omega^2(\mathbf{k})=m\Omega^2(\mathbf{-k})=4\gamma \sin^2\frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2} \ </math>
выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные.
Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:
: <math>\Omega(\mathbf{k})=\Omega(\mathbf{-k})=2\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|\sin \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \ </math>
Зная частоту фононов как функцию <math>\mathbf{k} \ </math>, можно вычислить фазовую <math>V_f \ </math> и групповую <math>V_g \ </math> скорости соответствующих элементарных возбуждений:
: <math>V_f=\frac{\Omega(\mathbf{k})}{k}=\frac{2}{k}\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|\sin \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \ </math>
: <math>V_g=\frac{d\Omega(\mathbf{k})}{dk}=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}}|\cos \frac{\mathbf{k}\mathbf{a}}{2}| \ </math>

=== Акустические фононы ===
Длинноволновые возбуждения при
<math>ka=\frac{2\pi a}{\lambda} \ll 1 \ </math>
характеризуются величинами:
: <math>\Omega(\mathbf{k})=ka\sqrt{\frac{\gamma}{m}}=kV_f \ </math>
: <math>V_f=V_g=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ </math>.
Эти возбуждения можно рассматривать как упругие волны в среде. Скорость упругих волн (скорость звука) определяется в механике выражением:
: <math>V_{ac}=\sqrt{\frac{E}{\rho_{1D}}} \ </math>,
где <math>E \ </math> — [[модуль Юнга]], а <math>\rho_{1D}=\frac{m}{a} </math> — одномерная плотность среды.
Модуль Юнга определяет отношение силы <math>\gamma(\xi_n-\xi_{n-1}) \ </math> к вызванной ею [[Относительная деформация|относительной деформации]] <math>(\xi_n-\xi_{n-1})/a \ </math>. Он равен
: <math>E=a\gamma \ </math>.
Таким образом, акустическая скорость равна величине:
: <math>V_{ac}=a\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ </math>.
Следовательно, рассматриваемые в пределе <math>ka \ll 1 \ </math> возбуждения совпадают с акустическими волнами в упругой среде. Поэтому эти возбуждения называются ''акустическими фононами''.

=== Тепловые фононы ===
Тепловая энергия тела равна сумме энергий фононов (тепловых).
Распределение фононов (тепловых) по состояниям при тепловом возбуждении в гармоническом приближении подчиняются статистике Больцмана<ref>{{Cite web|url=http://dssp.petrsu.ru/p/tutorial/ftt/Part6/part6_2.htm|title=Энергия тепловых колебаний решетки|author=|website=Сайт кафедры физики твёрдого тела Петрозаводского государственного университета|date=|publisher=|accessdate=2016-10-06|archiveurl=https://web.archive.org/web/20161006152814/http://dssp.petrsu.ru/p/tutorial/ftt/Part6/part6_2.htm|archivedate=2016-10-06|deadlink=yes}}</ref>.

=== Оптические фононы ===
Когда волновой вектор приближается к границе [[Зона Бриллюэна|зоны Бриллюэна]] (<math>ka \to \pi \ </math> или <math>\lambda \to 2a \ </math>), то фазовая скорость будет равна величине:
: <math>V_f \to \frac{2a}{\pi}\sqrt{\frac{\gamma}{m}} \ </math>,
а групповая скорость стремится к нулю. Эти элементарные возбуждения в твёрдом теле можно назвать ''оптическими фононами''.

== Акустические и оптические фононы ==
{{Expand}}
[[Файл:Diatomic phonons.png|thumb|Дисперсионные кривые для линейной двухатомной цепочки]]

=== Акустические фононы ===
'''Акустический фонон''' характеризуется при малых [[волновой вектор|волновых векторах]] линейным [[закон дисперсии|законом дисперсии]] и параллельным смещением всех атомов в элементарной ячейке. Такой закон дисперсии описывает звуковые колебания решетки (поэтому фонон и называется акустическим). Для трехмерного кристалла общей симметрии существует три ветви акустических фононов. Для кристаллов высокой симметрии эти три ветви можно разделить на две ветви поперечных волн различной поляризации и продольную волну.
В центре [[Зона Бриллюэна|зоны Бриллюэна]] (для длинноволновых колебаний) законы дисперсии для акустических фононов линейны.
: <math> \omega_i = s_i k</math>,
где ω — частота колебаний, k — волновой вектор, а коэффициенты S<sub>i</sub> — скорости распространения акустических волн в кристалле, то есть скорости звука .

=== Оптические фононы ===
'''Оптические фононы''' существуют только в кристаллах, элементарная ячейка которых содержит два и более атомов. Эти фононы характеризуются при малых [[волновой вектор|волновых векторах]] такими колебаниями атомов, при которых центр тяжести элементарной ячейки остается неподвижным. Энергия оптических фононов обычно достаточно велика (порядка 500 см<sup>−1</sup>) и слабо зависит от волнового вектора.

Наряду с электронами, акустические и оптические фононы дают вклад в [[теплоёмкость]] кристалла. Для акустических фононов при низких температурах этот вклад, согласно [[Модель Дебая|модели Дебая]], кубически зависит от температуры.

== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
* [[Звук]]

== Литература ==
* {{книга|автор=Соловьев В. Г.|заглавие=Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы|место=М.|издательство=Энергоатомиздат|год=1989|страниц=304|isbn=5-283-03914-5}}
* {{публикация|книга||автор=Давыдов А. С.|заглавие=Теория твердого тела|место=М.|Наука|год=1976|страниц=636}}
* {{публикация|книга|заглавие=Statistical Mechanics, A Set of Lectures |год=1972 |издательство=The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc. |место=Reading, Massachusetts |isbn=Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3 |страницы=366 |ref=Feynman |язык=en|автор=Feynman, Richard P.}}
* {{публикация|книга|автор=[[Каганов, Моисей Исаакович|Каганов М. И.]]|заглавие=«Квазичастица». Что это такое?|издательство=М.: Знание|год=1971|страниц=75|тираж = 12500|isbn=}}
* {{публикация|книга|автор=[[Фейнман, Ричард Филлипс|Фейнман Р.]]|заглавие=Статистическая механика|издательство=Мир|год=1975|страниц=407|тираж = |isbn=}}

{{Внешние ссылки}}
{{Квазичастицы}}

[[Категория:Коллективные явления в конденсированных средах]]
[[Категория:Физика твёрдого тела]]
[[Категория:Бозоны]]
[[Категория:Кванты]]