Система числення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти к навигации Перейти к поиску

Шаблон:Sidebar

Системою числення, або нумерацією, називається сукупність правил і знаків, за допомогою яких можна відобразити (кодувати) будь-яке невід'ємне число. До систем числення висуваються певні вимоги, серед яких найбільш важливими є вимоги однозначного кодування невід'ємних чисел 0, 1,… з деякої їх скінченної множини — діапазону Р за скінченне число кроків і можливості виконання щодо чисел арифметичних і логічних операцій. Крім того, системи числення розв'язують задачу нумерації, тобто ефективного переходу від зображень чисел до номерів, які в даному випадку повинні мати мінімальну кількість цифр. Від вдалого чи невдалого вибору системи числення залежить ефективність розв'язання зазначених задач і її використання на практиці.


Розрізняють такі типи систем числення:

  • позиційні
  • змішані
  • непозиційні

Історія виникнення систем числення[править]

Історично першими виникли непозиційні системи числення. Вони ґрунтуються на кількісному підході до визначення числа, який для кодування тих чи інших кількостей застосовував особливі знаки — числа. Кожному такому знаку відповідав кількісний еквівалент. Наприклад, у так званій римській нумерації знаку X відповідала кількість елементів множини, яка дорівнювала 10.

У подальшому такими знаками-числами користувалися також і для одержання інших чисел. Так, якщо перед знаком X ставилась вертикальна риска, то отримували знак IX, який означав, що від десяти треба відняти одиницю і результат буде дорівнювати 9. Знаки, подібні X, називаються вузловими. Вони широко використовувалися в первісних непозиційних системах числення. Слід ще раз зазначити, що серед цих знаків не було такого, який би відповідав нулю. Це свідчить про те, що нуль у той час ще не був сформований як число.

Кількість чисел, яку можна було одержати з допомогою непозиційного кодування, через його складність і відповідно велику кількість чисел, що потребували запам'ятовування, була обмежена кількома сотнями, і, крім того, щодо цих чисел досить важко було виконувати арифметичні й логічні операції. Тому в подальшому з розвитком науки виникла потреба в більш ефективних системах числення, які б мали прості правила кодування чисел, та легко виконували б щодо них арифметичні й логічні операції. Такі системи чисел були створені і отримали назву позиційних. Більш докладно ці системи числення будуть розглянуті нижче, тому що вони складають на сьогодні основу теорії систем числення взагалі.

Позиційна система[править]

У позиційних системах числення одна і та ж цифра (числовий знак) у записі числа набуває різних значень залежно від своєї позиції. Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному числу <math>b</math>, <math>b>1</math>, яке називається основою системи числення.

Наприклад, якщо b - натуральне число (<math>b > 1</math>), то для представлення числа x у системі числення з основою b його подають у вигляді лінійної комбінації степенів числа b:

<math>x = \sum_{k=0}^n a_k b^k</math>, де <math>a_k</math> — цілі, <math>0 \leq a_k < b</math>

Іншими словами, основа - це кількість символів, що використовуються при записуванні чисел.

Приклад

Наприклад, число «двісті чотири» представляється у десятковій системі числення у вигляді:

<math> 204 = 2 \cdot 10^{2} + 0 \cdot 10^{1} + 4 \cdot 10^{0}</math>

Використовуючи позиційний принцип, можна зобразити будь-яке дійсне число за допомогою усього лиш десяти цифр у їх різних комбінаціях.

Змішана система[править]

Змішана система числення є узагальненням системи числення з основою <math>b</math> і її часто відносять до позиційних систем числення. Основою змішаної системи є послідовність чисел, що зростає, <math>\{b_k\}_{k=0}^{\infty}</math> і кожне число <math>x</math> представляється як лінійна комбінація:

<math>x = \sum_{k=0}^n a_{k}b_k</math>, де на коефіцієнти <math>a_{k}</math> (цифри) накладаються деякі обмеження.

Якщо <math>b_k=b^k</math> для деякого <math>b</math>, то змішана система збігається з <math>b</math>-основною системою числення.

Найвідомішим прикладом змішаної системи числення є представлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів h годин m хвилин s секунд відповідає значенню <math>d\cdot 24\cdot 60\cdot 60 + h\cdot 60\cdot 60 + m\cdot 60 + s</math> секунд.

Система числення Фібоначчі[править]

Представлення засновується на числах Фібоначчі:

<math>x = \sum_{k=0}^n f_k F_k</math>, де <math>F_k</math> — числа Фібоначчі, <math>f_k\in\{0,1\}</math>, при цьому у записі <math>f_nf_{n-1}\dots f_0</math> не зустрічаються дві одиниці підряд.

Факторіальна система числення[править]

Представлення використовує факторіал натуральних чисел:

<math>x = \sum_{k=1}^n d_k k!</math>, де <math>0\leq d_k \leq k</math>.

Біноміальна система числення[править]

Представлення використовує біноміальні коефіцієнти:

<math>x = \sum_{k=1}^n {c_k\choose k}</math>, де <math>0\leq c_1 < c_2 < \dots < c_n</math>.

Система числення майя[править]

Майя використовували двадцяткову систему числення за одним винятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто після числа (17)(19) відразу йшло число (1)(0)(0). Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки (1)(0)(0) дорівнювало 360, що приблизно дорівнює кількості днів у сонячному році.

Непозиційна система[править]

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, не залежить від позиції її у числі. При цьому система може накладати обмеження на позиції цифр, наприклад, щоб вони були розташовані по спаданню, чи згруповані за значенням. Проте це не є принциповою умовою для розуміння записаних такими системами чисел.

Типовим прикладом непозиційної системи числення є римська система числення, в якій як цифри використовуються латинські букви:

Римська цифра Десяткове значення
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Наприклад, VII = 5 + 1 + 1 = 7. Тут символи V і I означають 5 і 1, відповідно, незалежно від місця їх у числі.

Застосування[править]

У нумізматиці особливо велику вагу мають десяткова система, дванадцяткова (дуодецимальна), четвертна та шісткова системи. У інформаційних технологіях застосовуються двійкова, десяткова, вісімкова, та шістнадцяткова системи.

Див. також[править]

Література[править]

Шаблон:Ambox/small[[Категорія:Статті, які потрібно розширити з Шаблон:Ambox/date]]Категорія:Статті з неправильним параметром дати у шаблоніКатегорія:Всі статті, які потрібно розширити

Шаблон:Stub-meta

Категорія:Системи числення Категорія:Математична нотація