Сигма-алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти к навигации Перейти к поиску

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множин, замкнена щодо операції зліченого об'єднання. Поняття сигма-алгебри має важливе значення для визначення мір множин, в математичному аналізі та теорії ймовірностей.

Визначення

Кільцем множин називається система множин, замкнена стосовно операцій об'єднання, перетину, віднімання та симетричної різниці. Довільне кільце множин містить і порожню множину.

Одиницею кільця множин <math>\mathfrak{G}</math> називається множина E, що належить до <math>\mathfrak{G}</math> і для довільної множини <math> A \in \mathfrak{G}</math> виконується:

<math>\ A \cap E = A </math>.

σ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин <math>A_1,\ldots,A_n,\ldots</math> містить також їх об'єднання

<math>\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n</math>.

δ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин <math>A_1,\ldots,A_n,\ldots</math> містить також їх перетин:

<math>\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n</math>.

Таким чином, σ-алгеброю множин називається σ-кільце множин з одиницею, а δ-алгеброю множин — δ-кільце з одиницею. Однак, кожна σ-алгебра є також δ-алгеброю, і навпаки.

Властивості

Для довільної непорожньої системи множин <math>\mathfrak{G}</math> існує неприводима (по відношенню до цієї системи) σ-алгебра <math>\mathfrak{B}(\mathfrak{G})</math>, що містить <math>\mathfrak{G}</math> і міститься в довільній σ-алгебрі, що містить <math>\mathfrak{G}</math>.

Така σ-алгебра <math>\mathfrak{B}(\mathfrak{G})</math> називається мінімальною.

Приклади

Найпростішим прикладом σ-алгебри є система всіх підмножин деякої множини A.

Борелівські множини (або В-множини) це множини на числовій прямій, що належать мінімальній σ-алгебрі над сукупністю всіх сегментів <math>[a; b]</math>.


Прості приклади на основі множин

Нехай X - довільна множина.

  • Сімейство множин що складається лише з порожньої множини і множини X, називається мінімальною, або тривіальною σ-алгеброю над X.
  • Булеан X, називають дискретною σ-алгеброю.

Література

Див. також


Шаблон:Перекласти Шаблон:Stub-meta

Категорія:Теорія міри Категорія:Експеримент (теорія ймовірностей) Категорія:Сімейства множин Категорія:Булева алгебра