Сигма-алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение

Семейство <math>\mathfrak{S}</math> подмножеств множества <math>X</math> называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам[1]:

  1. <math>\mathfrak{S}</math> содержит множество <math>X</math>.
  2. Если <math>E\in \mathfrak{S}</math>, то и его дополнение <math>X\backslash E\in\mathfrak{S}</math>.
  3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из <math>\mathfrak{S}</math> принадлежит <math>\mathfrak{S}</math>

Пояснения

  • Поскольку
    <math>\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n = X\backslash \left(\bigcup_{n=1}^{\infty}(X\backslash A_n)\right),</math>
в пункте 3, достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало <math>\mathfrak{S}</math>.
  • Для любой системы множеств <math>\mathcal{S}</math> существует наименьшая сигма-алгебра <math>\sigma(\mathcal{S})</math>, являющаяся её надмножеством.
  • Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств <math>\mathcal{S}</math>) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на <math>\sigma(\mathcal{S})</math>, то есть на наименьшую сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
  • σ-алгебра, порождённая случайной величиной <math>\xi:\,X\rightarrow \mathbb{R}</math>, определяется следующим образом:
<math>\sigma(\xi) = \left\{\xi^{-1}(B)\mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}</math>,
где <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — наименьшая сигма-алгебра на пространстве <math>X</math>, относительно которой случайная величина <math>\xi</math> всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве <math>X</math> вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции <math>\xi</math> её можно ввести и наделить таким образом пространство <math>X</math> структурой измеримого пространства, так что функция <math>\xi</math> будет измеримой.

Измеримое пространство

Шаблон:Main Измеримое пространство — это пара <math>(X, \mathcal F)</math>, где <math>X</math> — множество, а <math>\mathcal F</math> — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Примеры

  • Борелевская сигма-алгебра
  • Для любого множества <math>X</math> существует тривиа́льная σ-алгебра <math>\left\{X,\varnothing\right\}</math>, где <math>\varnothing</math> — пустое множество.
  • Для любого множества <math>X</math> существует σ-алгебра, которая содержит все его подмножества.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Нет ссылок

  1. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. - 496 стр.