Рівняння Дірака

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти к навигации Перейти к поиску

Шаблон:Квантова механіка Рівня́ння Дірака — релятивістсько-інваріантне рівняння руху для біспінорного класичного поля електрона, застосовне також для опису інших точкових ферміонів зі спіном 1/2. Його вперше записав Поль Дірак у 1928.

Рівняння Дірака призвело до пояснення напівцілого спіну електрона та до відкриття античастинок, якими для електрона є позитрони. Частинку зі спіном 1/2 описує нерелятивістське рівняння Паулі, до якого зводиться рівняння Дірака при малих енергіях.

Вигляд рівняння

Рівняння Дірака записується в вигляді

<math> \left(mc^2\alpha_0 + c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j \hat{p}_j\right) \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) </math>

де <math>m\ </math> — маса електрона (або іншого ферміона, що описується рівнянням), <math>c\ </math> — швидкість світла, <math>\hat{p}_j = - i \hbar \partial_j = - \bar \frac{\partial}{\partial x_j}</math> — три оператори компонент імпульсу (x, y, z), <math> \hbar = {h \over 2 \pi} </math>, <math> h </math> — стала Планка, x=(x, y, z) і t просторові координати і час, відповідно, та <math>\psi(\mathbf{x},t)</math> — чотирикомпонентна комплексна хвильова функція (біспінор).

<math>
\psi(\mathbf{x},t) = \left( \begin{matrix} \psi_1(\mathbf{x},t) \\ \psi_2(\mathbf{x},t) \\ \psi_3(\mathbf{x},t) \\ \psi_4(\mathbf{x},t)  \end{matrix} \right)

</math>


<math>\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\ </math> — лінійні оператори над простором біспінорів, які діють на хвильову функцію. Ці оператори підібрані таки чином, що кожна пара таких операторів антикомутує, а квадрат кожного дорівнює одиниці:

<math>\alpha_i\alpha_j = -\alpha_j\alpha_i\ </math>, де <math>i\ne j</math> і індекси <math>i,j\ </math> змінюються від 0 до 3,
<math>\alpha_i^2 = 1</math> для <math>i\ </math> від 0 до 3.

У даному представленні ці оператори є матрицями розміру 4×4 (це мінімальний розмір матриць, для яких виконуються умови антикомутації) і називаються альфа-матрицями Дірака

Весь оператор в дужках в лівій частині рівняння називається оператором Дірака, точніше, в сучасній термінології його слід називати гамільтоніаном Дірака, оскільки оператором Дірака зазвичай називають коваріантний оператор D, з яким рівняння Дірака записується у вигляді =0 (як описано в наступному зауваженні).

У сучасній фізиці часто використовується коваріантна форма запису[1] рівняння Дірака (детальніше див. нижче):

<math>\left(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0</math>

Побудова рівняння Дірака

Рівняння Дірака — релятивістське узагальнення рівняння Шредінгера:

<math> \hat{H} \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle.</math>

Для зручності миШаблон:Хто будемо працювати в координатному представленні, в якому стан системи задається хвильовою функцією ψ(x,t). В цьому представленні рівняння Шредінгера записується у вигляді

<math> \hat{H} \psi (\mathbf{x},t) = i \hbar \frac{\partial\psi(\mathbf{x},t)}{\partial t} , </math>

де гамільтоніан <math> \hat{H} </math> тепер діє на хвильову функцію.

Гамільтоніан потрібно визначити так, щоб він описував повну енергію системи. Для нерелятивістського вільного електрона (який ні з чим не взаємодіє, ізольований від усіх сторонніх полів) гамільтоніан має вигляд аналогічний кінетичній енергії в класичній механіці (якщо не брати до уваги ні релятивістських поправок, ні спіну):

<math> \hat{H} = \sum_{j=1}^3 \frac{\hat{p}_j^2}{2m}, </math>

де pj — оператори проекцій імпульсу, де індекс j =1,2,3 означає декартові координати. Кожен такий оператор діє на хвильову функцію як просторова похідна:

<math>\hat{p}_j \psi(\mathbf{x},t) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - i \hbar \, \frac{\partial\psi (\mathbf{x},t)}{\partial x_j}.</math>

Щоб описати релятивістську частинку, потрібно знайти інший гамільтоніан. При цьому є підґрунтя вважати, що оператор імпульсу зберігає щойно наведене визначення. Відповідно до релятивістського співвідношення повну енергію системи можна виразити як

<math>E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}.</math>

Це приводить до виразу

<math> \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2} \ \psi = i \hbar \frac{d\psi}{d t}. </math>

Це не зовсім задовільне рівняння, оскільки не видно явної лоренц-коваріантності (яка виражає формальне рівноправ'я часу і просторових координат, що є одним з наріжних каменів спеціальної теорії відносності), а крім того — написаний корінь з оператора не виписаний явно. Однак, піднесення до квадрату лівої та правої частин приводить до явно лоренц-коваріантного рівняння Клейна-Гордона. Дірак запропонував, що оскільки права частина рівняння містить першу похідну по часу, то і ліва частина повинна мати тільки похідні першого порядку по просторових координатах (інакше кажучи — оператори імпульсу в першій степені). Тоді, приймаючи, що коефіцієнти перед похідними, яку б природу вони не мали, — постійні (внаслідок однорідності простору), залишається тільки записати:

<math>i\hbar \frac{d\psi}{dt} = \left[ c \sum_{i=1}^3 \alpha_i p_i + \alpha_0 mc^2 \right] \psi</math>

— це і є рівняння Дірака (для вільної частинки).

Однак коефіцієнти <math>\alpha_i\ </math> ще не визначені. Якщо припущення Дірака правильне, то права частина, піднесена до квадрату, повинна дати

<math> (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2 </math>

тобто

<math> \left( mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \,\right)^2

= (mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2. </math>

Розкриваючи дужки в лівій частині отриманого рівняння, можна знайти умови на α:

<math>

\alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 0\,,</math> для всіх <math> i,j = 0, 1, 2, 3 (i \ne j), </math>

<math>

\alpha_i^2 = 1\,,</math> для всіх <math> i = 0, 1, 2, 3.\ </math>

або, скорочено записавши все разом:

<math> \alpha_i \alpha_j + \alpha_j \alpha_i = 2 \delta_{ij}\ </math> для <math>\ i,j = 0, 1, 2, 3, </math>

або, ще коротше, користуючись фігурними дужками для позначення антикомутаторів:

<math>

\left\{\alpha_i , \alpha_j\right\} = 2\delta_{ij}\ </math> для <math>\ i,j = 0, 1, 2, 3. </math>

де {,} — антикомутатор, що визначається як {A,B}≡AB+BAδij — символ Кронекера, який приймає значення 1 якщо два індекси рівні, а в протилежному випадку - 0. Див. алгебра Кліфорда.

Оскільки такі співвідношення не можуть виконуватись для звичайних чисел (адже числа комутують, а α — ні), залишається припустити, що α — це деякі лінійні оператори або матриці (тоді одиниці й нулі в правій частині співвідношень можна вважати відповідно одиничним і нульовим оператором або матрицею) і можна намагатися знайти конкретний набір α, скориставшись даними співвідношеннями (і це вдається).

Стає зрозуміло, що хвильова функція повинна бути не однокомпонентною (тобто не скалярною), а векторною, маючи на увазі вектори якогось абстрактного «внутрішнього» простору, не пов'язаного прямо зі звичайним фізичним простором або простором-часом.

Матриці повинні бути ермітові, так щоб гамільтоніан теж був ермітовим оператором. Найменша розмірність матриць, що задовольняють вказаним критеріям, чотири, тобто це комплексні матриці 4×4, хоча конкретний вибір матриць (або представлення) не є однозначним. Ці матриці утворюють групу, в якій групова операція - матричне множення. Хоча вибір представлення цієї групи не впливає на властивості рівняння Дірака, він впливає на фізичний зміст компонент хвильової функції. Хвильова функція в такому разі повинна бути чотиривимірним комплексним абстрактним (не пов'язаним прямо з векторами звичайного простору-часу) біспінорним полем.

У вступі було наведено представлення, яке використовував Дірак. Це представлення можна правильно записати як

<math>\alpha_0 = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{bmatrix} \quad \alpha_j = \begin{bmatrix} 0 & \sigma_j \\ \sigma_j & 0 \end{bmatrix} </math>

де 0 і I — 2×2 нульова і одинична матриці відповідно, і σj (j = 1, 2, 3) — матриці Паулі, що є матричним представленням кватерніонів, про які давно відомо, що вони антикомутують.

Гамільтоніан в цьому рівняння

<math> \hat{H} = \,mc^2 \alpha_0 + c \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j\,</math>

назавається гамільтоніаном Дірака.

Для звичайного рівняння Дірака в двовимірному просторі або в тривимірному, але з m=0, замість альфа-матриць достатньо лише матриць Паулі; замість чотирикомпонентного біспінорного поля при цьому роль хвильової функції буде виконувати двокомпонентне спінорне.

Релятивістсько-коваріантна форма

Коваріантний запис рівняння Дірака для вільної частинки має такий вигляд:

<math>\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0,</math>

або, використовуючи правило Ейнштейна сумування по індексах, що повторюються, так:

<math>\left(i\hbar c \, \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.</math>

Пояснення

Часто корисно буває користуватись рівнянням Дірака в релятивістсько-коваріантній формі, в якій просторові та часові координати формально рівноправні.

Оператор імпульсу <math>\hat{p} </math> діє як просторова похідна:

<math>\mathbf{p} \psi(\mathbf{x},t) = - i \hbar \nabla \psi(\mathbf{x},t).</math>

Множачи рівняння Дірака з кожного боку на α0 (згадуючи що α0²=I) і підставляючи його у визначення для <math>\hat{p} </math>, рівняння Дірака набирає вигляду

<math> \left[ i\hbar c \left(\alpha_0 \frac{\partial}{c \partial t} + \sum_{j=1}^3 \alpha_0 \alpha_j \frac{\partial}{\partial x_j} \right) - mc^2 \right] \psi = 0. </math>

Чотири гамма матриці визначаються як:

<math> \gamma^0 \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \alpha_0 \,,\quad \gamma^j \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \alpha_0 \alpha_j. </math>

Ці матриці мають властивісь, що

<math>\left\{\gamma^\mu , \gamma^\nu \right\} = 2\eta^{\mu\nu} \cdot I\,,\quad \mu,\nu = 0, 1, 2, 3</math>

де η метрика плоского простору. Ці співвідношення визначають алгебру Кліфорда, що називається алгеброю Дірака.

Рівняння Дірака тепер можна записати, використовуючи чотири-вектор x = (ct,x), як

<math>\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0.</math>

У цій формі рівняння Дірака можна отримати з допомогою знаходження екстремуму дії

<math>\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \sum_\mu \gamma^\mu \partial_\mu - mc^2)\psi \, d^4 x </math>

де

<math>\bar\psi \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \psi^\dagger \gamma_0 </math>

називається приєднаною матрицею Дірака для ψ. Це основа для використання рівняння Дірака в квантовій теорії поля.

В цій формі електромагнітну взаємодію можна просто додати розширивши частинну похідну до калібрувальної похідної:

<math>\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu. </math>

Запис з використанням «Feynman slash»

Інколи використовується запис з використанням «перекреслених матриць» («Feynman slash»). Прийнявши позначення

<math>a\!\!\!/ \leftrightarrow \sum_\mu \gamma^\mu a_\mu</math>,

бачимо, що рівняння Дірака можна записати як

<math>(i \hbar c \, \partial\!\!\!/ - mc^2) \psi = 0</math>

і вираз для дії записується у вигляді

<math>\mathcal{S} = \int \bar\psi(i \hbar c \, \partial \!\!\!/ - mc^2)\psi \, d^4 x. </math>


Діраковські білінійні форми

Є п'ять різних (нейтральних) діраковських білінійних форм без похідних:

  • (S) скаляр: <math>\bar{\psi} \psi</math> (скаляр, P-парний)
  • (P) псевдоскаляр: <math>\bar{\psi} \gamma^5 \psi</math> (скаляр, P-непарний)
  • (V) Вектор: <math>\bar{\psi} \gamma^\mu \psi</math> (вектор, P-парний)
  • (A) аксіальний вектор: <math>\bar{\psi} \gamma^\mu \gamma^5 \psi</math> (вектор, P-непарний)
  • (T) тензор: <math>\bar{\psi} \sigma^{\mu\nu} \psi</math> (антисиметричний тензор)

де <math>\sigma^{\mu\nu}=\frac{i}{2} \left[\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\right]_{-} </math> і <math>\gamma^{5}=\gamma_{5}=\frac{i}{4!}\epsilon_{\mu\nu\rho\lambda}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\lambda}=i\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3} </math>.

Розв'язки

Характерною особливістю рівняння Дірака є те, що для вільної частинки воно має 4 розв'язки, які інтерпретуються як

Див. також

Примітки

  1. Оскільки і форма з альфа-матрицями лоренц-коваріантна, правильніше називати форму з гамма-матрицями просто чотиривимірною (а при заміні звичайних похідних на коваріантні вона дасть загальноковаріантний запис рівняння Дірака)

Посилання

Лекції з квантової фізики

Література

Шаблон:Stub-meta

Категорія:Квантова теорія поля Категорія:Спінори