Правильный многогранник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Файл:Platonic solids.jpg
Платоновы тела

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией.

Определение

Многогранник называется правильным, если:

  1. он выпуклый;
  2. все его грани являются равными правильными многоугольниками;
  3. в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Список правильных многогранников

В трёхмерном евклидовом пространстве существует всего пять правильных многогранников[1] (упорядочены по числу граней):

Изображение Правильный многогранник Число вершин Число рёбер Число граней Число сторон у грани Число рёбер, примыкающих к вершине Тип пространственной симметрии
50px Тетраэдр 4 6 4 3 3 Td
50px Гексаэдр 8 12 6 4 3 Oh
50px Октаэдр 6 12 8 3 4 Oh
50px Додекаэдр 20 30 12 5 3 Ih
50px Икосаэдр 12 30 20 3 5 Ih

Название каждого многогранника происходит от греческого наименования количества его граней и слова «грань».

История

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Огню соответствовал тетраэдр, земле — гексаэдр, воздуху — октаэдр, воде — икосаэдр. Данные сопоставления пояснялись следующими ассоциациями: жар огня ощущается чётко и остро, как пирамидки-тетраэдры; мельчайшие компоненты воздуха октаэдры настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков, к которым ближе всего икосаэдры; в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики-гексаэдры составляют землю, которые являются причиной того, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Аристотель добавил пятый элемент — эфир — и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Математик из Базельского университета Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида[2]. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб. Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников (тел Кеплера — Пуансо).

Комбинаторные свойства

  • Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.
  • Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:
    p — число рёбер в каждой грани;
    q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.
Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:
Многогранник Вершины Рёбра Грани Символ Шлефли
тетраэдр Тетраэдр 4 6 4 {3, 3}
гексаэдр (куб) Гексаэдр (куб) 8 12 6 {4, 3}
октаэдр Октаэдр 6 12 8 {3, 4}
додекаэдр Додекаэдр 20 30 12 {5, 3}
икосаэдр Икосаэдр 12 30 20 {3, 5}
  • Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p и q, является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:
    <math>p\Gamma = 2\mbox{P} = q\mbox{B}.</math>
Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:
<math>\mbox{B} = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad \mbox{P} = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad \Gamma = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.</math>

Геометрические свойства

Углы

С каждым правильным многогранником связаны определённые углы, характеризующие его свойства. Двугранный угол между смежными гранями правильного многогранника {p, q} задаётся формулой:

<math>\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.</math>

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс:

<math>\operatorname{tg}\,\frac{\theta}{2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)},</math>

где <math>h</math> принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника — это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине. Дефект <math>\delta</math> при любой вершине правильного многогранника:

<math>\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).</math>

По теореме Декарта, он равен <math>4\pi</math> делённым на число вершин (то есть суммарный дефект при всех вершинах равен <math>4\pi</math>).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

<math>\Omega = q\theta - (q-2)\pi.</math>

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы (<math>4\pi</math> стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах. Константа <math>\varphi=\tfrac{1+\sqrt{5}}{2}</math> — золотое сечение.

Многогранник Двугранный угол
θ
<math>\operatorname{tg}\frac{\theta}{2}</math> Плоский угол между рёбрами при вершине Угловой дефект (δ) Телесный угол при вершине (Ω) Телесный угол, стягиваемый гранью
тетраэдр 70.53° <math>1\over{\sqrt 2}</math> 60° <math>\pi</math> <math>\arccos\left(\frac{23}{27}\right)</math> <math>\approx 0.551286</math> <math>\pi</math>
куб 90° 1 90° <math>\pi\over 2</math> <math>\frac{\pi}{2}</math> <math>\approx 1.57080</math> <math>2\pi\over 3</math>
октаэдр 109.47° √2 60°, 90° <math>{2\pi}\over 3</math> <math>4\arcsin\left({1\over 3}\right)</math> <math>\approx 1.35935</math> <math>\pi\over 2</math>
додекаэдр 116.57° <math>\varphi</math> 108° <math>\pi\over 5</math> <math>\pi - \operatorname{arctg}\left(\frac{2}{11}\right)</math> <math>\approx 2.96174</math> <math>\pi\over 3</math>
икосаэдр 138.19° <math>\varphi^2</math> 60°, 108° <math>\pi\over 3</math> <math>2\pi - 5\arcsin\left({2\over 3}\right)</math> <math>\approx 2.63455</math> <math>\pi\over 5</math>

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

  • Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
  • Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
  • Вписанная сфера, касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной (<math>R</math>) и вписанной (<math>r</math>) сфер задаются формулами:

<math>R = {a\over 2}\cdot\operatorname{tg}\frac{\pi}{q}\cdot\operatorname{tg}\frac{\theta}{2}</math>
<math>r = {a\over 2}\cdot\operatorname{ctg}\frac{\pi}{p}\cdot\operatorname{tg}\frac{\theta}{2},</math>

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

<math>\rho = \frac{a\cos(\pi/p)}{2\sin(\pi/h)},</math>

где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

<math>{R\over r} = \operatorname{tg}\frac{\pi}{p}\cdot\operatorname{tg}\frac{\pi}{q}.</math>

Площадь поверхности S правильного многогранника {p, q} вычисляется, как площадь правильного p-угольника, умноженная на число граней Г:

<math>S = \left({a\over 2}\right)^2 \Gamma p\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{p}.</math>

Объём правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

<math>V = {1\over 3}rS.</math>

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Многогранник
(a = 2)
Радиус вписанной сферы (r) Радиус срединной сферы (ρ) Радиус описанной сферы (R) Площадь поверхности (S) Объём (V)
тетраэдр <math>1\over {\sqrt 6}</math> <math>1\over {\sqrt 2}</math> <math>\sqrt{3\over 2}</math> <math>4\sqrt 3</math> <math>\frac{2\sqrt 2}{3}</math>
куб <math>1</math> <math>\sqrt 2</math> <math>\sqrt 3</math> <math>24</math> <math>8</math>
октаэдр <math>\sqrt{2\over 3}</math> <math>1</math> <math>\sqrt 2</math> <math>8\sqrt 3</math> <math>\frac{8\sqrt 2}{3}</math>
додекаэдр <math>\frac{\varphi^2}{\xi}</math> <math>\varphi^2</math> <math>\sqrt 3\,\varphi</math> <math>60\frac{\varphi}{\xi}</math> <math>20\frac{\varphi^3}{\xi^2}</math>
икосаэдр <math>\frac{\varphi^2}{\sqrt 3}</math> <math>\varphi</math> <math>\xi\varphi</math> <math>20\sqrt 3</math> <math>\frac{20\varphi^2}{3}</math>

Константы φ и ξ задаются выражениями

<math>\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2}.</math>

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

В больших размерностях

Шаблон:Main

105px 105px 105px 105px 105px 105px
  • Во всех пространствах размерности n > 4 существует только 3 типа правильных многогранников: n-мерный симплекс, n-мерный октаэдр (гипероктаэдр) и n-мерный куб (гиперкуб).

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Ссылки

Шаблон:Навигация

Шаблон:Внешние ссылки

Шаблон:Многогранники

  1. Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
  2. Герман Вейль. «Симметрия». Перевод с английского Б. В. Бирюкова и Ю. А. Данилова под редакцией Б. А. Розенфельда. Издательство «Наука». Москва. 1968. стр. 101