Міра множини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти к навигации Перейти к поиску

thumb|right|Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та <math>n</math>-вимірного об'єму для загальніших просторів.

Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай мається на увазі злічено-адитивна міра.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

Визначення

Теорія міри і інтеграла Лебега була розроблена на початку ХХст. в зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант теорії є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики .

Скінчено-адитивна міра

Нехай задано простір <math>X</math> з виділеним класом підмножин <math>\mathcal{F}</math>, замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція <math>\mu:\mathcal{F} \to [0,\infty]</math> називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовільняє наступним умовам:

  1. <math>\mu(\varnothing) = 0</math>;
  2. Якщо <math>\{E_n\}_{n=1}^{N}\subset\mathcal{F}</math> — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із <math>\mathcal{F}</math>, тобто <math>E_i \cap E_j= \varnothing,\; i\not= j</math>, то

<math>\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{N}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{N}\mu(E_n)</math>.

Альтернативне визначення

Функція множини <math>\mu(A)</math> називається мірою, якщо:

  • область визначення <math>\sigma_\mu</math> функції <math>\mu (A)</math> є напівкільце множин.
  • значення <math>\mu(A)\geq 0</math>
  • <math>\mu(A)</math> — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу <math>A=A_1\cup A_2 \cup \dots \cup A_n</math>, <math>A_i\cap A_j = \varnothing</math>
    буде виконуватись рівність
    <math>\mu(A)=\sum_{k=1}^n \mu(A_k)</math>

Система множин <math>\sigma</math> називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена по відношенню до утворення перетинів, і якщо з приналежності до <math>\sigma</math> множини <math>A</math> та <math>A_1\subset A</math> випливає можливість представлення множини <math>A</math> у вигляді об'єднання <math>A=\bigcup_{k=1}^n A_k</math>, де <math>A_k</math> — попарно неперетинаючі множини з <math>\sigma</math>, перша з яких є задана множина <math>A_1</math>.

Злічено-адитивна міра

Нехай задано простір <math>X</math> з виділеною σ-алгеброю <math>\mathcal{F}</math>. Функція <math>\mu:\mathcal{F} \to [0,\infty]</math> називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовольняє наступним вимогам:

  1. <math>\mu(\varnothing) = 0</math>;
  2. (σ-адитивність) Якщо <math>\{E_n\}_{n=1}^{\infty}\subset\mathcal{F}</math> — злічене сімейство попарно не перетинаючихся множин з <math>\mathcal{F}</math>, тобто <math>E_i \cap E_j =\varnothing,\; i\not= j</math>, то
<math>\mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}E_n\right) = \sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(E_n)</math>.

Продовження міри

Міра <math>\mu</math> називається продовженням міри <math>m</math>, якщо <math>\mathcal{F}_m \sub \mathcal{F}_\mu</math> і для кожної <math>A \in \mathcal{F}_m</math> виконується рівність:

<math>\mu (A) = m (A) </math>

При цьому, для кожної міри <math>m(A)</math>, заданої на деякому напівкільці <math>\mathcal{F}_m</math> існує єдине продовження <math>m'(A)</math>, що має як область визначення кільце <math>\mathcal{R}(\mathcal{F}_m)</math> (тобто, мінімальне кільце над <math>\mathcal{F}_m</math>).

Примітки

  • Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
  • Якщо міра всього простору скінчена, тобто <math>\mu(X) < \infty</math>, то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
  • На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на можину всіх його підмножин.

Приклади

Література

  • Ошибка Lua: не удаётся создать процесс: proc_open(/var/log/nginx/wikiinfo_lua.error.log): failed to open stream: Permission denied
  • Ошибка Lua: не удаётся создать процесс: proc_open(/var/log/nginx/wikiinfo_lua.error.log): failed to open stream: Permission denied

Див. також

Ошибка скрипта: Модуля «Portal» не существует.

Категорія:Теорія міри Категорія:Математичні структури