Квазичастица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Шаблон:Квазичастица Квазичасти́ца (от Шаблон:Lang-lat «наподобие», «нечто вроде») — понятие в квантовой механике, введение которого позволяет существенно упростить описание сложных квантовых систем со взаимодействием, таких как твёрдые тела и квантовые жидкости.

Например, чрезвычайно сложное описание движения электронов в полупроводниках может упроститься введением квазичастицы под названием электрон проводимости, отличающейся от электрона массой и движущейся в свободном пространстве. Для описания колебаний атомов в узлах кристаллической решётки в теории конденсированного состояния вещества используют фононы, для описания распространения элементарных магнитных возбуждений в системе взаимодействующих спинов — магноны.

Введение

Идея использования квазичастиц была впервые предложена Л. Д. Ландау в теории ферми-жидкости для описания жидкого гелия-3, позже её стали использовать в теории конденсированного состояния вещества. Описывать состояния таких систем напрямую, решая уравнение Шрёдингера с порядка 10Шаблон:Sup взаимодействующими частицами, невозможно. Обойти эту трудность удаётся сведением задачи взаимодействия частиц к более простой задаче с невзаимодействующими квазичастицами.

Квазичастицы в ферми-жидкости

Введение квазичастиц для ферми-жидкости производится плавным переходом от возбуждённого состояния идеальной системы (без взаимодействия между частицами), полученного из основного, с функцией распределения <math>n_{0}(\vec{p})</math>, путём добавления частицы с импульсом <math>\vec{p}</math>, адиабатическим включением взаимодействия между частицами. При таком включении возникает возбуждённое состояние реальной ферми-жидкости с тем же импульсом, так как он сохраняется при столкновении частиц. По мере включения взаимодействия, добавленная частица вовлекает в движение окружающих её частиц, образуя возмущение. Такое возмущение называют квазичастицей. Полученное таким образом состояние системы соответствует реальному основному состоянию плюс квазичастица с импульсом <math>\vec{p}</math> и энергией, соответствующей данному возмущению. При таком переходе роль частиц газа (в случае отсутствия взаимодействия) переходит к элементарным возбуждениям (квазичастицам), число которых совпадает с числом частиц и которые, как и частицы, подчиняются статистике Ферми — Дирака.

Квазичастицы в твёрдых телах

Фонон как квазичастица

Описание состояния твёрдых тел, непосредственно решая уравнение Шредингера для всех частиц, практически невозможно из-за большого числа переменных и сложности учёта взаимодействия между частицами. Упростить такое описание удаётся введением квазичастиц — элементарных возбуждений относительно некого основного состояния. Часто учёт только низших энергетических возбуждений относительно этого состояния достаточен для описания системы, так как, согласно распределению Больцмана, состояния с большими значениями энергий даются с меньшей вероятностью. Рассмотрим пример применения квазичастиц для описания колебаний атомов в узлах кристаллической решётки.

Примером возбуждений с низкими энергиями может служить кристаллическая решётка при абсолютном нуле температуры, когда к основному состоянию, при котором колебания в решётке отсутствуют, добавляется элементарное возмущение определённой частоты, то есть фонон. Бывает, что состояние системы характеризуется несколькими элементарными возбуждениями, а эти возбуждения, в свою очередь, могут существовать независимо друг от друга, в таком случае это состояние интерпретируется системой невзаимодействующих фононов. Однако не всегда удаётся описать состояние невзаимодействующими квазичастицами из-за ангармонического колебания в кристалле. Тем не менее, во многих случаях элементарные возбуждения могут рассматриваться как независимые. Таким образом, можно приближенно считать, что энергия кристалла, связанная с колебанием атомов в узлах решётки, равна сумме энергии некоторого основного состояния и энергий всех фононов.

Квантование колебаний на примере фонона

Рассмотрим скалярную модель кристаллической решётки, согласно которой атомы колеблются вдоль одного направления. Пользуясь базисом плоских волн, напишем выражение для смещений атомов в узле:

<math>u_{n}(t) = \sum_{\vec{k}} Q_{\vec{k}}(t) \phi_{\vec{k}}(\vec{r}_{n}),</math>
<math>\phi_{\vec{k}}(\vec{r}_{n}) = \frac{1}{\sqrt{N}} e^{i \vec{k} \vec{r}_{n}}.</math>

В такой форме <math>Q_{\vec{k}}</math> называют обобщёнными координатами. Тогда лагранжиан системы:

<math>L = \sum_{n} \frac{m \dot{u}_{n}^{2}}{2} - \frac{1}{2} \sum_{n,n^{'}} A(\vec{r}_{n} - \vec{r}_{n^{'}})u_{n}u_{n^{'}}</math>

выразится в терминах <math>Q_{\vec{k}}</math> в виде:

<math>L = \frac{m}{2} \sum{\vec{k}}(\dot{Q}_{\vec{k}}^{*}\dot{Q}_{\vec{k}} - \omega_{\vec{k}}^{2}Q_{\vec{k}}^{*}Q_{\vec{k}}).</math>

Отсюда выражается канонический импульс и гамильтониан:

<math>P_{\vec{k}} = \frac{\delta L}{\delta \dot{Q}_{\vec{k}}} = m \dot{Q}_{\vec{k}}^{*},</math>
<math>H = \sum_{\vec{\vec{k}}} P_{\vec{k}} \dot{Q}_{\vec{k}} - L = \frac{1}{2m} \sum_{\vec{k}}(P_{\vec{k}}P_{\vec{k}}^{*} + m^{2}\omega_{\vec{k}}^{2}Q_{\vec{k}}^{*}Q_{\vec{k}}).</math>

Квантование действия производится требованием операторных правил коммутации для обобщённой координаты и импульса (<math>\hbar = 1</math>):

<math>[Q_{\vec{k}},P_{\vec{k}^{'}}] = i\delta_{\vec{k}, \vec{k}^{'}}, </math>
<math>[Q_{\vec{k}},Q_{\vec{k}^{'}}] = [P_{\vec{k}},P_{\vec{k}^{'}}] = 0. </math>

Для перехода к фононному представлению используют язык вторичного квантования, определив операторы рождения <math>a_{\vec{k}}^{+}</math> и уничтожения <math>a_{\vec{k}}</math> квантового фононного поля:

<math>[a_{\vec{k}},a_{\vec{k}^{'}}^{+}] = i \delta_{\vec{k},\vec{k}^{'}} \, \, \, \, \, \, \, [a_{\vec{k}},a_{\vec{k}^{'}}] = 0.</math>

Прямым вычислением можно проверить, что требуемые правила коммутации выполняются для операторов:

<math>Q_{\vec{k}} = \frac{1}{\sqrt{2 m \omega_{\vec{k}}}}(a^{+}_{\vec{k}} e^{i \omega t} + a_{-\vec{k}} e^{-i \omega_{\vec{k}} t}),</math>
<math>P_{\vec{k}} = i \sqrt{\frac{\omega_{\vec{k}} m}{2}}(a^{+}_{-\vec{k}} e^{i \omega t} - a_{\vec{k}} e^{-i \omega_{\vec{k}} t}).</math>

Заменив знак комплексного сопряжения <math>Q_{\vec{k}}^{*}</math> на <math>Q_{\vec{k}}^{+}</math> и учтя, что энергия — чётная функция квазиимпульса, <math>\omega_{\vec{k}} = \omega_{-\vec{k}}</math> (из однородности), получим выражения для кинетической и потенциальной частей гамильтониана:

<math>K = \frac{1}{2m} \sum_{\vec{k}} P_{\vec{k}}P_{-\vec{k}} = - \frac{1}{4} \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{-\vec{k}} - a_{\vec{k}})(a^{+}_{\vec{k}} - a_{-\vec{k}}),</math>
<math>H = \frac{m \omega_{\vec{k}}^{2}}{2} \sum_{\vec{k}} Q_{\vec{k}}Q_{-\vec{k}} = \frac{1}{4} \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{-\vec{k}} - a_{\vec{k}})(a^{+}_{\vec{k}} - a_{-\vec{k}}).</math>

Тогда гамильтониан примет вид:

<math>H = \sum_{\vec{k}} \omega_{\vec{k}}(a^{+}_{\vec{k}}a_{\vec{k}} + \frac{1}{2}).</math>

Иначе можно переписать:

<math>H = \sum_{\vec{k}} E_{\vec{k}}(n_{\vec{k}} + \frac{1}{2}),</math>

где

<math>n_{\vec{k}} = a^{+}_{\vec{k}}a_{\vec{k}}</math> — оператор количества частиц, фононов,
<math>E_{\vec{k}} = \omega_{\vec{k}}</math> — энергия фонона с импульсом <math>\vec{k}.</math>

Такое описание колебаний в кристалле называется гармоническим приближением. Оно соответствует лишь рассмотрению квадратичных членов по смещениям в гамильтониане.

Квазичастицы в ферромагнетике, магноны

В случае ферромагнетика, при абсолютном нуле температуры, все спины выстраиваются вдоль одного направления. Такое расположение спинов соответствует основному состоянию. Если один из спинов отклонить от заданного направления и предоставить систему самой себе, начнёт распространяться волна. Энергия этой волны будет равна энергии возбуждения кристалла, связанной с изменением ориентации спина атома. Эту энергию можно рассматривать как энергию некоторой частицы, которую и называют магноном.

Если энергия ферромагнетика, связанная с отклонением спинов, невелика, то её можно представить в виде суммы энергий отдельных распространяющихся спиновых волн или, выражаясь иначе, в виде суммы энергий магнонов.

Магноны, как и фононы, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна

Свойства

  • Квазичастицы характеризуются вектором <math>\vec{p}</math>, свойства которого похожи на импульс, его называют квазиимпульсом.
  • Энергия квазичастицы, в отличие от энергии обычной частицы, имеет иную зависимость от импульса.
  • Квазичастицы могут взаимодействовать между собой, а также с обычными частицами.
  • Могут иметь заряд и/или спин.
  • Квазичастицы с целым значением спина подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, с полуцелым — Ферми — Дирака.

Сравнение квазичастиц с обычными частицами

Между квазичастицами и обычными элементарными частицами существует ряд сходств и отличий. Во многих теориях поля (в частности, в конформной теории поля) не делают вообще никаких различий между частицами и квазичастицами.

Сходства

  • Как и обычная частица, квазичастица может быть более-менее локализованной в пространстве и сохранять свою локализованность в процессе движения.
  • Квазичастицы могут сталкиваться и/или взаимодействовать иным образом. При столкновении низкоэнергетических квазичастиц выполняются механические законы сохранения квазиимпульса и энергии. Квазичастицы могут также взаимодействовать и с обычными частицами (например, с фотонами).
  • Для квазичастиц с квадратичным законом дисперсии (то есть энергия пропорциональна квадрату импульса) можно ввести понятие эффективной массы. Поведение такой квазичастицы будет очень похоже на поведение обычных частиц.

Различия

  • В отличие от обычных частиц, которые существуют сами по себе, в том числе и в пустом пространстве, квазичастицы не могут существовать вне среды, колебаниями которой они и являются.
  • При столкновениях, для многих квазичастиц закон сохранения квазиимпульса выполняется с точностью до вектора обратной решётки.
  • Закон дисперсии обычных частиц — это данность, которую никак не изменить. Закон дисперсии квазичастиц возникает динамически, и потому может иметь самый замысловатый вид.
  • Квазичастицы могут иметь дробный электрический заряд или магнитный заряд.

Другие квазичастицы

  • Электрон проводимости — имеет тот же заряд и спин, как у «нормального» электрона, но отличается массой.
  • Дырка — незаполненная валентная связь, которая проявляет себя как положительный заряд, по абсолютной величине равный заряду электрона.
  • Ротон — коллективное возбуждение, связанное с вихревым движением в жидкости.
  • Полярон — квазичастица, соответствующая поляризации, связанной с движением электрона, обусловленной взаимодействием электрона с кристаллической решёткой.
  • Плазмон — представляет собой коллективное колебание электронов в плазме.

Литература

Ссылки

Шаблон:Навигационная таблица

Шаблон:Частицы

Шаблон:Нет источников