Закон дисперсии

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Файл:Prism rainbow schema.png
Разложение пучка света в спектр при прохождении стеклянной призмы вследствие явления дисперсии света в стекле — нелинейности закона дисперсии для света в среде

Зако́н диспе́рсии, или дисперсионное соотношение, в теории волн — это функция зависимости частоты от волнового вектора:

<math>

\omega = \omega(\mathbf k). </math> Этот закон выражает связь временной и пространственной периодичности волны. Из закона дисперсии можно получить фазовую и групповую скорости волны:

<math>

\mathbf{v}_\text{ph} = \frac{\omega}{k} \cdot \frac{\mathbf{k}}{k}, \quad \mathbf{v}_\text{gr} = \frac{d\omega}{d\mathbf{k}}. </math>

Дисперсия возникает если фазовая скорость распространения волны зависит от её волнового числа, что имеет место, когда закон дисперсии нелинеен. Среда, в которой возникает дисперсия называется дисперсионной или диспергирующей средой. Такой средой в частности является стекло. Можно показать, что нелинейное дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в стекле, приводит к зависимости показателя преломления от длины волны. Дисперсия стекла и закон Снелла приводят к возможности использования стеклянной призмы в качестве простейшего спектрального прибора (см. картинку).

В гармоническом решении классического волнового уравнения фазовая скорость не зависит от волнового числа. Однако различные эффекты, возникающие в среде, могут приводить к появлению дополнительных членов в дифференциальном уравнении, описывающем распространение в этой среде волн. При подстановке в такое уравнение гармонической функции, можно увидеть, что она все еще является решением, но связь между частотой и волновым числом уже не линейная, что эквивалентно зависимости фазовой скорости от волнового числа.

В связи с тем, что, согласно квантовым представлениям, каждой волне соответствует некоторая частица или квазичастица (и наоборот), закон дисперсии можно также записывать и для частиц. В частности, в физике твёрдого тела закон дисперсии выражает связь между энергией частицы (например, электрона, фонона) и его волновым вектором.

Вывод для цепочки

Пусть дана одномерная линейная цепочка атомов массой <math>m</math>, расстояние между ними <math>d</math>. Сместим <math>n</math>-й атом на малое расстояние <math>u_n</math>. Тогда из-за малости отклонения сила взаимодействия атомов будет квазиупругой.

Обозначения:

<math>k</math> — волновое число;
<math>\omega</math> — частота.

С учётом ближайших соседей

<math>F_n = - \beta (u_n-u_{n+1}) - \beta (u_n - u_{n-1}) = \beta (u_{n+1} - 2 u_n + u_{n-1}), </math>

где

<math>\beta</math> — коэффициент квазиупругой силы.

Запишем уравнение движения для <math>n</math>-го атома:

<math>ma = F \quad\Longleftrightarrow\quad m \cfrac {d^2 u_n} {dt^2} = \beta (u_{n+1} - 2 u_n + u_{n-1}) . </math>

Пусть решение имеет вид <math>A e^{i(kd - \omega t)} . </math>

Тогда

<math>-m\omega^2 = \beta (e^{ikd} + e^{-ikd} -2) = - 2 \beta (1 - \cos kd) = - 4 \beta \sin^2 (kd/2) \quad\Rightarrow\quad \omega = \pm \omega_m \sin {kd/2}, </math>

где

<math>\omega_m = 2 \sqrt{\cfrac {\beta} {m}} . </math>

Это и есть зависимость частоты от волнового числа, то есть закон дисперсии для одноатомной цепочки.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Стефан А. Тау. Линейные волны в средах с дисперсией // Нелинейные волны. — М.: Мир, 1977.

Шаблон:Ambox