Гільбертів простір

Материал из МДПУ Вікіпедія | MDPU Wikipedia
Перейти к навигации Перейти к поиску
Файл:Standing waves on a string.gif
Стан вібруючої струни можна змоделювати як точку у гільбертовому просторі. Декомпозиція вібруючої струни на її вібрації в різних обертонах задається проекцією точки на координатні осі в просторі.

Гі́льбертів про́стір (на честь Давида Гільберта) — це узагальнення поняття евклідового простору на нескінченновимірний випадок. Є лінійним простором над полем дійсних або комплексних чисел (прийменник «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним скалярним добутком. Останній дозволяє вводити поняття, аналогічні звичним поняттям ортогональності і кута.

Означення

Гільбертовим простором називається[1][2] векторний простір <math>H</math>над полем дійсних або комплексних чисел разом зі скалярним добутком - функцією від двох змінних <math> (\cdot,\cdot):H\times H\to \R</math>(або <math>\Complex</math>, у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:

  1. <math>(x,x)\geq0</math> для кожного <math>x\in H</math>
  2. <math>(x,x)=0</math> тоді і лише тоді, коли <math>x=0</math>
  3. <math>(x+y,z)=(x,z)+(y,z)</math> для довільних трьох <math>x,y,z\in H</math>
  4. <math>(\alpha x,y)=\alpha(x,y)</math>, де <math>x,y\in H</math>, <math>\alpha</math> - елемент скалярного поля. (<math>\R</math> або <math>\Complex</math>)
  5. <math>(x,y)=\overline{(y,x)}\ x,y\in H</math>
  6. Для довільної послідовності <math>x_n\in H,\ n=1,2,\ldots, </math>, для якої виконано (умова фундаментальності)
<math>\lim_{l,k\to\infty}(x_l-x_k,x_l-x_k)=0</math>,
знайдеться елемент <math>x\in H</math>, що для нього
<math>\lim_{n\to\infty}(x_n-x,x_n-x)=0</math>.
Тоді кажуть, що <math>x</math> є границею послідовності <math>x_n</math>.

Наведене вище означення однаково застосовне як для випадку простору над дійсними числами, так і над комплексними; досить зауважити, що у першому випадку в умові 5 маємо просто симетричність скалярного добутку: <math>(x,y)=(y,x)</math>.

Іноді також вимагається, щоб для розмірності простору виконувалось <math>dim H=\infty</math>, хоча, очевидно, евклідові (скінченновимірні) простори можна розглядати як гільбертові без жодних додаткових застережень.

Слід зазначити, що умова 6 означає повноту простору відносно норми, заданої, як <math> \|x\| = \sqrt{(x,x)}</math> (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно банаховим простором (тобто, повним нормованим векторним простором) із нормою <math> \|x\| = \sqrt{(x,x)}</math>.

Гільбертів простір є узагальненням для випадку нескінченної розмірності як евклідового простору <math>\R^n</math> так і ермітового простору <math>\Complex^n.</math>

Передгільбертів простір — векторний простір зі скалярним добутком (умови 1-5). Умови повноти простору 6 немає, тому він, загалом, не є банаховим.

Лінійне відображення <math>\ L:H_1 \to H_2</math> між двома (комплексними) гільбертовими просторами називається ізометрією, якщо воно зберігає (ермітовий) скалярний добуток, тобто для будь-яких векторів <math>u,v \in H_1,</math> виконується рівність <math>(L(u),L(v))=(u,v).</math> За допомогою тотожності паралелограма,

<math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)</math>

(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі; <math>x,y\in H</math> - довільні) доводиться, що <math>L</math> є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто <math>\|L(v)\|=\|v\|</math> для будь-якого <math>v\in H_1.</math> Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є бієкцією, називається ізоморфізмом гільбертових просторів.

Приклади

1. Простір <math>l^2,</math> що складається зі збіжних послідовностей комплексних чисел — тобто, послідовностей, для яких

<math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots),\quad

\|\mathbf{x}\|^2=\sum_{n \geq 1}|x_n|^2<\infty,</math>

із ермітовим скалярним добутком

<math>(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{n \geq 1}x_n\overline{y_n}</math>

є комплексним гільбертовим простором. Якщо обмежитися лише послідовностями з дійсними членами, то одержимо дійсний гільбертів простір. Те, що <math>(\mathbf{x},\mathbf{y})<\infty,</math> тобто ряд збігається — не очевидний факт, що потребує доведення. Збіжність ряда випливає із нерівності Коші-Буняковського, застосованої до перших <math>n</math> членів послідовностей <math>\mathbf{x}</math> і <math>\mathbf{y}.</math> Отож, отримуємо, що

<math>|(\mathbf{x},\mathbf{y})|\leq\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|.</math>

У курсі функціонального аналізу доводиться також, що простір <math>l^2</math> — повний і, таким чином, задовольняє всім аксіомам гільбертового простору.

2. Гільбертів простір <math>L^2[-\pi,\pi]</math> квадратично-інтегрованих за Лебегом функцій на відрізку <math>[-\pi,\pi]</math> утворюється з лінійного простору неперервних комплекснозначних функцій на цьому відрізку за операцією поповнення. Наведемо лише означення ермітового скалярного добутку на <math>L^2[-\pi,\pi]</math>:

<math>(f,g)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx.</math>

Ортонормальні базиси: координати у гільбертовому просторі

У будь-якому гільбертовому просторі <math>H</math> можна ввести систему координат, що узагальнюють декартові координати на площині або в звичайному тривимірному евклідовому просторі. Це досягається за допомогою вибору ортонормального базису в <math>H.</math>

Система векторів <math>\{u_i: i\in I\}</math> гільбертового простору <math>H,</math> що індексується множиною <math>I,</math> називається ортогональною, якщо <math>(u_i,u_j)=0</math> для будь-яких <math>i\ne j\in I</math> і ортонормальною, якщо додатково <math>(u_i,u_i)=1</math> для будь-якого <math>i\in I.</math>

Отже, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертового простору одиничної довжини. Система векторів називається повною, якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій — щільна у <math>H.</math>

Повна ортонормальна система векторів гільбертового простору <math>H</math> називається ортонормальним базисом у <math>H.</math> Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче.

Координати вектора <math>w\in H</math> відносно данного ортонормального базису — це скаляри <math>a_i=(u_i,w), i\in I.</math> Вектор <math>w</math> повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

<math>w=\sum_{i\in I}a_i u_i=\sum_{i\in I}(u_i,w)u_i.</math>

Сепарабельні гільбертові простори утворюють найважливіший клас нескінченовимірних гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із зліченної множини векторів. Виявляється, що за обранням ортонормального базису <math>\{u_1,u_2,\ldots,u_n,\ldots\},</math> будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір <math>H</math> стає ізоморфним до <math>l^2.</math>

Дійсно, розгляньмо відображення

<math>L:H\to l^2, \quad L(v)=\{(v,u_n): n=1,2,\ldots\},</math>

яке будь-якому вектору <math>v\in H</math> ставить у відповідність послідовність його координат відносно ортонормального базису <math>\{u_n:n\in\N\}.</math> Тоді <math>L</math> — це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом <math>l^2.</math> Ці властивості випливають з наступної рівності Парсеваля.

Рівність Парсеваля

Припустимо, що <math>\{u_1,u_2,\ldots\}</math> — це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі <math>H.</math> Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів <math>v \in H:</math>

<math>\sum |(u_i,v)|^2=(v,v),</math>

де сума розповсюджується на всі елементи даної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує праву частину, цей факт називається нерівністю Бесселя.

Рівність Парсеваля вперше з'явилась у дослідженні рядів Фур'є неперервних функцій на скінченному інтервалі у такому вигляді:

<math>2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)=

\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2 dx,\quad</math> де

<math>a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx, \quad n\geq 1</math> — коефіцієнти Фур'є дійсної функції <math>f(x), -\pi\leq x\leq\pi.</math> За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції <math>\{e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx), n\in\Z\}</math> утворюють ортонормальний базис у означеному вище комплексному гільбертовому просторі <math>L^2[-\pi,\pi].</math>

Див. також

Примітки

  1. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_space
  2. В.М.Кадец, Курс функционального анализа, Х:Видавництво ХНУ, 2004 - с.290

Література

Категорія:Функціональний аналіз Категорія:Лінійна алгебра Категорія:Квантова механіка Категорія:Топологічні векторні простори