Гармонічний осцилятор

Материал из МДПУ Вікіпедія | MDPU Wikipedia
Перейти к навигации Перейти к поиску
Файл:Simple harmonic oscillator.gif
Коливання помаранчевого квадрата

Гармоні́чний осциля́тор — система (у класичній механіці), яка при зміщенні із положення рівноваги під дією певної сили (чи суперпозиції сил), повертається у попереднє положення під дією зворотної сили, пропорційної зміщенню (наприклад, за законом Гука у випадку механічних коливань):

<math> F = -k x \, </math>

де <math>k</math> — додатня константа, що описує жорсткість системи.

Якщо <math>~F</math> — єдина сила, що діє на систему, то систему називають простим або консервативним гармонійним осцилятором. Вільні коливання такої системи є періодичний рух біля положення рівноваги (гармонійні коливання). Частота і амплітуда при цьому постійні, причому частота не залежить від амплітуди.

Якщо є ще й сила тертя (відбувається згасання коливань), пропорційна швидкості руху (в'язке тертя), то таку систему називають згасаючим або дисипативним осцилятором. Якщо тертя не дуже велике, то система робить майже періодичний рух — синусоїдальні коливання з постійною частотою і експоненціально спадною амплітудою. Частота вільних коливань згасаючого осцилятора виявляється дещо нижче, ніж у аналогічного осцилятора без тертя.

Якщо осцилятор існує сам по собі, то кажуть, що він робить вільні коливання. Якщо ж є зовнішня сила (що залежить від часу), то говорять, що осцилятор виконує вимушені коливання.

Також, можна дати еквівалентне означення гармонічному осцилятору — це фізичний об'єкт, еволюція якого з часом описується диференціальним рівнянням

<math> \ddot{q}(t) + \omega^2 q(t) = 0 </math>,

де <math>q </math> — узагальнена координата гармонічного осцилятора, <math> t </math> — час, <math>\omega </math> — характерна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінною означають другу похідну за часом. Величина <math>q</math> здійснює гармонічні коливання.

Задача про гармонічний осцилятор відіграє центральну роль як у класичній, так і у квантовій фізиці.

Велика кількість фізичних систем ведуть себе як гармонічні осцилятори при малому відхиленні від рівноваги. До них належать математичний маятник (з малими кутами відхилення), фізичний та торсіонний маятники, вантаж на пружині, коливання атомів у молекулах і твердих тілах. Серед прикладів, варто виділити електричні коливальні контури, оскільки з ними ми стикаємося у сучасному житті повсякчас — це майже всі електротехнічні прилади, з якими ми знайомі ледь не від народження (наприклад ліфти, електронні системи у автомобілях, комп'ютери, акустичні системи, кавоварки).

Гармонічний осцилятор у класичній фізиці

Файл:Simple pendulum height.png
Малі коливання маятника є гармонічними

Енергія, функція Лагранжа та Гамільтона

Кінетична енергія гармонічного осцилятора задається виразом

<math> K = \frac{m}{2} \dot{q}^2 </math>.

Потенціальна енергія гармонічного осцилятора задається виразом

<math> U = \frac{m \omega^2 q^2}{2} </math>.

Відповідно, вважаючи величину <math>q</math> узагальненою координатою, функція Лагранжа гармонічного осцлятора записується

<math> \mathcal{L} = \frac{m\dot{q}^2}{2} +\frac{m \omega^2 q^2}{2} </math>.

Узагальнений імпульс

<math> p = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} = \dot{q}. </math>

Функція Гамільтона

<math> \mathcal{H} = \frac{p^2}{2m}+ \frac{m \omega^2 q^2}{2} </math>.

Вимушені коливання

Під дією зовнішньої періодичної сили із частотою, яка не обов'язково збігається із власною частотою гармонічного осцилятора, осцилятор здійснює гармонічні коливання, аплітуда яких визначається величиною зовнішньої сили і співвідношенням зовнішньої частоти й власної частоти осцилятора.

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із частотою <math> \omega_0

</math> під дією сили з частотою <math> \omega </math>описуються рівнянням
<math> \ddot{q} + \omega_0^2 q = f_0 \cos (\omega t - \varphi) </math>,

де <math> f_0 </math> — амплітуда зовнішньої сили.

Частинний розв'язок цього рівняння, який описує вимушені коливання має вигляд

<math> q = \frac{f_0}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos (\omega t - \varphi) </math>.

Гармонічний осцитор під дією зовнішньої сили здійснює гармонічні коливання з амплітудою <math> f_0/(\omega_0^2 - \omega^2) </math>. При <math> \omega \rightarrow \omega_0 </math> амплітуда вимушених коливань прямує до нескінченості. Це явище називається резонансом.


Гармонічний осцилятор із згасанням коливань

При врахуванні сил тертя чи супротиву іншого роду, який призводить до дисипації енергії осцилятора й перетворенні її в тепло, рівняння гармонічного осцилятора змінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили супротиву пропорційні швидкості зміни величини <math> q </math>. Тоді рівняння гармонічного осцилятора набирає вигляду

<math> \ddot{q} + \gamma \dot{q} + \omega^2 q = 0 </math>.

Такі коливання затухають із часом згідно із законом

<math> q = q_0 e^{-\gamma t} \cos (\omega t - \varphi) </math>.

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із згасанням

При дії періодичної зовнішньої сили навіть при затуханні для осцилятора встановлюються гармонічні коливання із амплітудою, яка залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини затухання.

Амплітуда вимушених коливань із врахуванням затухання визначається формулою

<math> q_0 = \frac{ f_0 (\omega_0^2 - \omega^2)}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}</math>.

Це скінченна величина при всіх частотах зовнішньої сили.

Формули для розрахунку частот гармонічних осциляторів

Математичний маятник при невеликому початковому відхиленні від вертикалі здійснює гармонічні коливання з частотою

<math> \omega = \sqrt{\frac{g}{l}}</math>,

де g — прискорення вільного падіння, l — дожина маятника.

Тіло масою m на пружині із жорсткістю k, є гармонічним осцилятором з частотою

<math> \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} </math>

Коливальний контур є гармонічним осцилятором, із частотою

<math> \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} </math>,

де L — індуктивність, C — ємність.

Гармонічний осцилятор у квантовій механіці

Детальніше див. Квантовий осцилятор.

Спектр власних значень і власні функції

Файл:Schr-harmonic.png
Хвильові функції перших шести станів із квантовими числами від n = 0 до 5. На осі ординат відкладена узагальнена координата

Гамільтоніан гармонічного осцилятора отримується заміною у функції Гамільтона імпульсу <math> p </math> на <math> - i\hbar \frac{d}{d q} </math>

<math> \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2}\frac{d^2}{dq^2} +

\frac{1}{2} \omega^2 q^2 </math>.

Спектр гармонічного осцилятора знаходиться із стаціонарного рівняння Шредінгера й задається формулою

<math> E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) </math>.

Тут <math> n </math> — квантове число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Енергетичні рівні гармонічного осцилятора еквідистантні. Характерною особливістю гармонічного осцилятора є те, що навіть у основному стані гармонічний осцилятор має відмінну від нуля енергію

<math> E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega </math>.

Ця найнижча енергія називається енергією нульових коливань.

Власні функції гармонічного осцилятора, які відповідають квантовому числу <math> n </math> задаються формулами

<math> \psi_n = e^{-x^2/2}H_n(x) </math>,

де <math> x = q\sqrt{\omega/\hbar} </math>, а <math> H_n(x) </math> — поліноми Ерміта.

При парному <math> n </math> власні функції гармонічного осцилятора парні, при непраному — непарні. Гамільтоніан гармонічного осцилятора комутує із оператором заміни <math> x </math> на <math> -x </math> (оператором парності), а тому має спільні власні функції з цим оператором.

Оператори народження та знищення

Якщо визначити оператор народження

<math> \hat{a}^+ = \frac{1}{\sqrt{2\hbar \omega}}(\omega q - i \hat{p})
</math>

та оператор знищення

<math> \hat{a} =\frac{1}{\sqrt{2\hbar \omega}}(\omega q + i \hat{p})

</math>,

то

<math> \hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{a}^+\hat{a} + \frac{1}{2} \right) </math>.

Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:

<math> \hat{a}\hat{a}^+ - \hat{a}^+\hat{a} = 1 </math>.

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

<math> \psi_n = \sqrt{n!} (\hat{a}^+)^n \psi_0 </math>,

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

<math> |n> = \sqrt{n!} (\hat{a}^+)^n |0 \rangle </math>.

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані |n> призводить до переходу в стан |n+1>:

<math> \hat{a}^+ |n> = \sqrt{n+1}|n+1\rangle </math>.

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

<math> \hat{a} |n> = \sqrt{n}|n-1\rangle </math>

Оператор

<math> \hat{N} = \hat{a}^+\hat{a} </math>

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

<math> \hat{N}|n> = n|n\rangle </math>

Правила відбору

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою <math> \omega </math>.

У реальних коливних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, зумовлені ангармонічністю реального потенціалу міжатомної взаємодії, квадрупольними переходами і т. д.

Див. також

Джерела

  • Ошибка Lua: не удаётся создать процесс: proc_open(/var/log/nginx/wikiinfo_lua.error.log): failed to open stream: Permission denied, 516 с.
  • Ошибка Lua: не удаётся создать процесс: proc_open(/var/log/nginx/wikiinfo_lua.error.log): failed to open stream: Permission denied, 415 с.
  • Ошибка Lua: не удаётся создать процесс: proc_open(/var/log/nginx/wikiinfo_lua.error.log): failed to open stream: Permission denied

Категорія:Математичні моделі Категорія:Теорія коливань