Відношення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти к навигации Перейти к поиску
  1. ПЕРЕНАПРАВЛЕННЯ Шаблон:Hatnote

Відношення — математична структура, що формально визначає властивості різних об'єктів і їхні взаємозв'язки. Поширеними прикладами відношень у математиці є рівність (=), подільність, подібність, паралельність і багато інших.

Поняття відношення як підмножини декартового добутку формалізовано в теорії множин і набуло широкого поширення в мові математики у всіх її гілках. Теоретико-множинний погляд на відношення характеризує його з точки зору обсягу — якими комбінаціями елементів воно наповнене; змістовний підхід розглядається в математичній логіці, де відношення — пропозиційна функція, тобто вираз з невизначеними змінними, підстановка конкретних значень для яких робить його істинним або хибним. Важливу роль відношення відіграють в універсальній алгебрі, де базовий об'єкт вивчення розділу — множина з довільним набором операцій та відношень. Одне з найяскравіших застосувань техніки математичних відношень в прикладах — реляційні системи керування базами даних, методологічно засновані на формальній алгебрі відношень.

Формальні означення і позначення

<math>n</math>-місним (<math>n</math>-арним) відношенням <math>R</math>, що задане на множинах <math>M_1,M_2,\ldots,M_n</math>, називається підмножина декартового добутку цих множин: <math>R \subseteq M_1 \times M_2 \times \dots M_n</math>. Факт зв'язку <math>n</math> елементів <math>\langle m_1 \in M_1, m_2 \in M_2, \dots m_n \in M_n \rangle</math> відношенням <math>R</math> позначається <math>R (m_1, m_2, \dots, m_n)</math> або <math>(m_1, m_2, \dots, m_n) \in R</math>.

Факт зв'язку об'єктів <math>m_1 \in M_1</math> і <math>m_2 \in M_2</math> бінарним відношенням <math>R \subset M_1 \times M_2</math> зазвичай позначають за допомогою інфіксного запису: <math>m_1 \, R \, m_2</math>. Одномісні (унарні) відношення відповідають властивостям або атрибутам, як правило, для таких випадків термінологія відношень не використовується. Іноді використовуються тримісні відношення (тернарні), чотиримісні відношення (кватернарні); про відношення невизначено високої арності говорять як про «мультиарні», «багатомісні».

Шаблон:ЯкорьУніверсальне відношення — це відношення, що зв'язує усі елементи заданих множин, тобто, таке, що співпадає з декартовим добутком: <math>R = M_1 \times M_2 \times \dots M_n</math>. Нуль-відношення — відношення, що не зв'язує жодні елементи, тобто порожня множина: <math>R = \varnothing \subset M_1 \times M_2 \times \dots M_n</math>.

Функціональне відношення — відношення, що утворює функцію: <math>R \subseteq M_1 \times M_2 \times \dots M_n \dots M_{n+1}</math> є функціональним, якщо виконання <math>R (m_1, \dots, m_n, x)</math> та <math>R (m_1, \dots, m_n, y)</math> має наслідком <math>x=y</math> (це забезпечує єдиність значення функції).

Унарне відношення

При n=1 відношення RM називають одномісним або унарним. Таке відношення часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів множини M. Кажуть, що елемент aM має ознаку R, якщо a∈R і R⊆M.

Бінарне відношення

Докладніше дивись статтю Бінарне відношення

Широко вживаними в математиці та прикладних науках є двомісні або бінарні відношення (тобто відношення з n=2)

Якщо елементи a, b∈M знаходяться в бінарному відношенні R (тобто визначена впорядкована пара (a, b)∈R), то це часто записують у вигляді aRb. Слід зауважити також, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок відповідностей, а саме — як відповідності між однаковими множинами.

Приклади бінарних відношень на множині натуральних чисел N:

  • R1 — відношення ≤ («менше або дорівнює»), тоді 4 R1 19, 5 R1 15 і т. д. для будь-якого m ∈N
  • R2 — відношення «ділиться на», тоді 4 R2 2, 49 R2 7, m R2 1 для будь-якого m∈N
  • R3 — відношення «є взаємно простими», тоді 15 R3 38, 366 R3 3121, 1001 R3 3612
  • R4 — відношення «складаються з однакових цифр», тоді 127 R4 4721, 230 R4 4302, 3231 R4 43213311

Див. також

Джерела

Література

Шаблон:Математична логіка