Власна функція

Материал из МДПУ Вікіпедія | MDPU Wikipedia
Перейти к навигации Перейти к поиску

Вла́сною фу́нкцією лінійного оператора <math>L</math> із власним значенням <math>\lambda</math> називається така ненульова функція <math> f </math>, для якої виконується співвідношення

<math> L(f) = \lambda f, </math>

де <math> \lambda </math> це певне число (дійсне або комплексне). Таким чином, дія оператора <math>L</math> на його власну функцію <math>f</math> зводиться до множення <math>f</math> на число <math> \lambda.</math> Поняття власної функції — це зразок загального поняття власного вектора лінійного оператора, коли роль векторів відіграють функції. Зокрема, воно широко застосовується у теорії диференціальних і інтегральних операторів. Якщо <math>L</math> — це оператор Шредінгера з квантової механіки, то його власні функції мають зміст векторів стаціонарного стану, а власні значення відповідають енергії (див. Стаціонарне рівняння Шредінгера). Переважна більшість спеціальних функцій і всі ортогональні поліноми, які розглядаються у математиці і фізиці, є власними функціями певних диференціальних операторів.

Якщо для оператора існує більш за одну лінійно незалежну власну функцію із однаковим власним значенням <math>\lambda</math>, то таке власне значення називається виродженим . Множина всіх власних значень оператора <math>L</math> належить до спектра <math>L</math>, але взагалі спектр оператора містить також <math> \lambda,</math> що не є власними числами.

Приклади

1. Розглянемо зміну напрямку <math> x\mapsto -x </math> на числовій осі <math>\mathbb{R}</math>. Це — відображення <math>\mathbb{R}</math> до себе, що приводить до лінійного оператора <math>S,</math> що діє на функціях на <math>\mathbb{R}</math> за формулою

<math>Sf(x)=f(-x).</math>

Власними функціями <math>S</math> є всі парні функції, що відповідають власному значенню 1, і всі непарні функції, що відповідають власному значенню -1, за винятком функції <math>0.</math> Функції, які не є ні парними, ні непарними, не належать до власних функцій даного оператора. Спектр даного оператора збігається із множиною власних значень і складається із двох чисел: 1 та -1. Обидва власні значення вироджені, оскільки існує безліч парних чи непарних функцій.

2. Для оператора похідної <math> \frac{d}{dx}</math> у просторі всіх диференційовних дійснозначних функцій однієї змінної <math>x</math>, експоненціальна функція <math> e^{kx}, k\in\mathbb{R}</math> є власною функцією із власним значенням <math>k.</math> У теорії диференціальних рівнянь доводиться, що будь-яка фунція ☃☃ що задовольняє

<math>\frac{df}{dx}=kf,</math>

має вигляд <math>f(x)=Ce^{kx},</math> тобто пропорційна <math>e^{kx}.</math> Тому жодне із власних значень не є виродженим. Якщо поширити простір, на якому діє <math>\frac{d}{dx},</math> до простору всіх диференційовних комплекснозначних функцій, то будь-яка власна функція <math> \frac{d}{dx}</math> пропорційна комплексній експоненціальній функції <math> e^{kx}, k\in\mathbb{C}.</math>

3. Поліноми Лежандра

<math>P_l(z)=\frac{(-1)^l}{2^l l!}\frac{d^l}{dz^l}(1-z^2)^l</math>

є власними функціями диференціального оператора

<math>L=(1-z^2)\frac{d^2}{dz^2}-2z\frac{d}{dz}</math>

з власними значеннями <math>\lambda=-l(l+1).</math> Ці функції — скінченні у точках <math>z=\pm 1,</math> і будь-яка власна функція <math>L</math> скінченна у <math>z=\pm 1</math> пропорційна до певного <math>P_l(z), l=0,1,2,\ldots.</math>

Див. також

Категорія:Функціональний аналіз