Алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Файл:Right concoid.svg
Трёхмерный правильный коноид, описанный алгебраическими тригонометрическими уравнениями
<math>x=v \times \cos(u)</math>, <math>y=v \times \sin(u)</math>, <math>z=2 \times \sin(u)</math>

А́лгебра (от араб. اَلْجَبْرُШаблон:Transl «восполнение»[1]) — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики; в этом разделе числа и другие математические объекты обозначаются буквами и другими символами, что позволяет записывать и исследовать их свойства в самом общем виде. Слово «алгебра» также употребляется в общей алгебре в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел[2].

Классификация

Алгебра как раздел математики традиционно включает следующие категории.

Элементарная алгебра

Шаблон:Основная статья

Файл:Quadratic formula.svg
Формула корней квадратного уравнения выражает решение уравнения второй степени <math>ax^2 + bx +c=0</math> через его коэффициенты <math>a, b, c</math>, где <math>a</math> не равно нулю.

Элементарная алгебра — раздел алгебры, который изучает самые базовые понятия. Обычно изучается после изучения основных понятий арифметики. В арифметике изучаются числа и простейшие (+, −, ×, ÷) действия с ними. В алгебре числа заменяются на переменные (<math>a, b, c, x, y</math> и так далее). Такой подход полезен, потому что:

  • Позволяет получить общее представление законов арифметики (например, <math>a + b = b + a</math> для любых <math>a</math> и <math>b</math>), что является первым шагом к систематическому изучению свойств действительных чисел.
  • Позволяет ввести понятие «неизвестного», сформулировать уравнения и изучать способы их решения. (Для примера, «Найти число x, такое что <math>3x + 1 = 10</math>» или, в более общем случае, «Найти число x, такое, что <math>ax + b = c</math>». Это приводит к выводу, что нахождение значения переменной кроется не в природе чисел из уравнения, а в операциях между ними.)
  • Позволяет сформулировать понятие функции. (Для примера, «Если вы продали <math>x</math> билетов, то ваша прибыль составит <math>3x - 10</math> рублей, или <math>f(x) = 3x - 10</math>, где <math>f</math> — функция, и <math>x</math> — число, от которого зависит функция»)

Линейная алгебра

Шаблон:Основная статья Линейная алгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. К линейной алгебре также относят теорию определителей, теорию матриц, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично)[4]. Современная линейная алгебра делает акцент на изучении векторных пространств[5].

Линейное, или векторное пространство <math>V \left( F \right) </math> над полем <math> F </math> — это упорядоченная четвёрка <math>(V,F,+,\cdot)</math>, где

<math>V</math> — непустое множество элементов произвольной природы, которые называются векторами;
<math>F</math> — (алгебраическое) поле, элементы которого называются скалярами;
<math>+\colon V \times V \to V</math> — операция сложения векторов, сопоставляющая каждой паре элементов <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}</math> множества <math>V</math> единственный элемент множества <math> V</math>, обозначаемый <math> \mathbf{x} + \mathbf{y}</math>;
<math>\cdot\colon F\times V\to V</math> — операция умножения векторов на скаляры, сопоставляющая каждому элементу <math>\lambda</math> поля <math>\in F</math> и каждому элементу <math>\mathbf{x}</math> множества <math>V</math> единственный элемент множества <math>V</math>, обозначаемый <math>\lambda\mathbf{x}</math>;

причём заданные операции удовлетворяют следующим аксиомам — аксиомам линейного (векторного) пространства:

  1. <math>\mathbf{x} + \mathbf{y} = \mathbf{y} + \mathbf{x}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\in V</math> (коммутативность сложения);
  2. <math>\mathbf{x} + (\mathbf{y} + \mathbf{z}) = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) + \mathbf{z}</math>, для любых <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in V</math> (ассоциативность сложения);
  3. существует такой элемент <math>\theta \in V</math>, что <math>\mathbf{x} + \theta = \mathbf{x}</math> для любого <math>\mathbf{x} \in V</math> (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности <math>V</math> не пусто;
  4. для любого <math>\mathbf{x} \in V</math> существует такой элемент <math>-\mathbf{x} \in V</math>, что <math>\mathbf{x} + (-\mathbf{x}) = \theta</math> (существование противоположного элемента относительно сложения).
  5. <math>\alpha(\beta\mathbf{x}) = (\alpha\beta)\mathbf{x}</math> (ассоциативность умножения на скаляр);
  6. <math>1\cdot\mathbf{x} = \mathbf{x}</math> (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля F сохраняет вектор).
  7. <math>(\alpha + \beta)\mathbf{x} = \alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{x}</math> (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
  8. <math>\alpha(\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \alpha \mathbf{x} + \alpha \mathbf{y}</math>(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Евклидовы пространства, аффинные пространства, а также многие другие пространства, изучаемые в геометрии, определяются на основе векторного пространства. Автоморфизмы векторного пространства над полем образуют группу относительно умножения, изоморфную группе невырожденных квадратных матриц, что связывает линейную алгебру с теорией групп, в частности, с теорией линейных представлений групп[5].

Переход от используемых в линейной алгебре n-мерных векторных пространств к бесконечномерным линейным пространствам нашёл своё отражение в некоторых разделах функционального анализа[4]. Другим естественным обобщением является использование не поля, а произвольного кольца. Для модуля над произвольным кольцом не выполняются основные теоремы линейной алгебры. Общие свойства векторных пространств над полем и модулей над кольцом изучаются в алгебраической К-теории[5].

Общая алгебра

Шаблон:Основная статья Общая алгебра занимается изучением различных алгебраических систем. В ней рассматриваются свойства операций над объектами независимо от собственно природы объектов[2]. Она включает в себя в первую очередь теории групп и колец. Общие свойства, характерные для обоих видов алгебраических систем, привели к рассмотрению новых алгебраических систем: решёток, категорий, универсальных алгебр, моделей, полугрупп и квазигрупп. Упорядоченные и топологические алгебры, частично упорядоченные и топологические группы и кольца, также относятся к общей алгебре[6].

Точная граница общей алгебры не определена. К ней можно также отнести теорию полей, конечных групп, конечномерных алгебр Ли[6].

Теория групп

Шаблон:Main Непустое множество <math>G</math> с заданной на нём бинарной операцией <math>*\,\colon G \times G \to G</math> называется группой <math>(G,*)</math>, если выполнены следующие аксиомы:

  1. ассоциативность: <math>\forall (a, b, c\in G): (a*b)*c = a*(b*c)</math>;
  2. наличие нейтрального элемента: <math>\exists e \in G \quad \forall a \in G:(e*a=a*e=a)</math>;
  3. наличие обратного элемента: <math>\forall a \in G \quad \exists a^{-1}\in G: (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)</math>
Файл:Cayley graph of F2.svg
Граф свободной группы порядка 2

Понятие группы возникло в результате формального описания симметрии и эквивалентности геометрических объектов. В теории Галуа, которая и дала начало понятию группы, группы используются для описания симметрии уравнений, корнями которых являются корни некоторого полиномиального уравнения. Группы повсеместно используются в математике и естественных науках, часто для обнаружения внутренней симметрии объектов (группы автоморфизмов). Почти все структуры общей алгебры — частные случаи групп.

Теория колец

Шаблон:Main Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

  1. <math>\forall a, b \in R \left(a + b = b + a\right)</math> — коммутативность сложения;
  2. <math>\forall a, b, c \in R \left(a + (b + c)) = ((a + b) + c\right)</math> — ассоциативность сложения;
  3. <math>\exists 0 \in R\; \forall a \in R \left(a + 0 = 0 + a = a\right)</math> — существование нейтрального элемента относительно сложения;
  4. <math>\forall a \in R\; \exists b \in R \left(a + b = b + a = 0\right)</math> — существование противоположного элемента относительно сложения;
  5. <math>\forall a, b, c \in R\; (a \times b) \times c=a \times (b \times c)</math> — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы[7])
  6. <math>\forall a, b, c \in R \left\{\begin{matrix} a \times (b + c) = a \times b + a \times c \\ (b + c) \times a = b \times a + c \times a \end{matrix}\right. </math> — дистрибутивность.

Универсальная алгебра

Шаблон:Основная статья Универсальная алгебра является специальным разделом общей алгебры, который занимается изучением характерных для всех алгебраических систем свойств. Алгебраическая система представляет собой произвольное непустое множество с заданным (возможно, бесконечным) набором конечноарных операций над ним и конечноарных отношений: <math>\mathfrak A = \langle A, F, R\rangle</math>, <math>F = \langle f_1:A^{n_1} \to A, \dots f_i:A^{n_i} \to A, \dots \rangle</math>, <math>R= \langle r_1 \subseteq A^{m_1}, \dots r_i \subseteq A^{m_i}, \dots \rangle</math>. Множество <math>A</math> в этом случае называется носителем (или основным множеством) системы, набор функциональных и предикатных символов с их арностями <math>\langle F, R, \langle n_1, \dots n_i, \dots \rangle , \langle m_1 \dots m_i, \dots \rangle \rangle</math> — её сигнатурой. Система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй (в контексте предмета — чаще просто алгеброй), а с пустым множеством операций — моделью или системой отношений, реляционной системой.

В терминах универсальной алгебры, например, кольцо — это универсальная алгебра <math>\left(R, +, \times \right)</math>, такая, что алгебра <math>\left(R, + \right)</math> — абелева группа, и операция <math>+</math> дистрибутивна слева и справа относительно <math>\times</math>. Кольцо называется ассоциативным, если мультипликативный группоид является полугруппой.

Раздел рассматривает как собственно универсальные алгебры, так и сопутствующие структуры: моноид всех эндоморфизмов <math> \mathbf{End} \mathfrak A</math>, группа всех автоморфизмов <math> \mathbf{Aut} \mathfrak A</math>, решётки всех подалгебр <math> \mathbf{Sub} \mathfrak A</math> и всех конгруэнций <math>\mathbf{Con} \mathfrak A</math>[8].

Универсальная алгебра находится на стыке логики и алгебры[6].

Исторический очерк

Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах[3]. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положенияШаблон:Sfn. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилонянеШаблон:Sfn.

Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степениШаблон:Sfn. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однороднымиШаблон:Sfn. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмамиШаблон:Sfn.

После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого способствовал выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Аполлония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и приспособлена в первую очередь для решения квадратных уравненийШаблон:Sfn. Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольниковШаблон:Sfn. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение <math>x^3+ax+b=0</math>. Отдельные задачи решались с помощью конических сеченийШаблон:Sfn.

Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членовШаблон:Sfn. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета. Идеи Диофанта можно заметить также в работах Эйлера, Якоби, Пуанкаре и других математиков вплоть до начала XX века. В настоящее время проблемы Диофанта принято относить к алгебраической геометрииШаблон:Sfn.

За 2000 лет до нашего времени китайские учёные решали уравнения первой степени и их системы, а также квадратные уравнения (см. Математика в девяти книгах). Они уже знали отрицательные и иррациональные числа. Поскольку в китайском языке каждый символ обозначает понятие, то сокращений не было. В XIII веке китайцы открыли закон образования биномиальных коэффициентов, ныне известный как «треугольник Паскаля». В Европе он был открыт лишь 250 лет спустя[9].

Термин «алгебра» взят из сочинения среднеазиатского учёного Аль-Хорезми «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы» (825 год). Слово «аль-джабр» при этом означало операцию переноса вычитаемых из одной части уравнения в другую и его буквальный смысл «восполнение»[1].

В XII веке алгебра попала в Европу. С этого времени начинается её бурное развитие. Были открыты способы решения уравнений 3 и 4 степеней. Распространение получили отрицательные и комплексные числа. Было доказано, что любое уравнение выше 4 степени нельзя решить алгебраическим способом.

Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.

В России одним из популяризаторов алгебры был первый русский писатель европейского типа князь А. Д. Кантемир. Он употребил этот термин в своей первой сатире (1729) и дал ему такое определение: «Алгебра есть часть математики весьма трудная, но и преполезная, понеже служит в решении труднейших задач всея математики. Можно назвать ее генеральною арифметикою, понеже части их по большей мере между собою сходны, только что арифметика употребляет для всякого числа особливые знаки, а алгебра генеральные, которые всякому числу служат. Наука сия, сказывают, в Европу пришла от арап, которых мнят быть ея изобретательми; имя самое алгебры есть арапское, которые ее называют Алжабр Валмукабала, то есть наверстать или соравнять»[10].

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Wiktionary

Шаблон:Внешние ссылки

Шаблон:Разделы математики

  1. 1,0 1,1 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 6.
  2. 2,0 2,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок BSE_Algebra не указан текст
  3. 3,0 3,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок MathEnc_Algebra не указан текст
  4. 4,0 4,1 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок BSE_LAlgebra не указан текст
  5. 5,0 5,1 5,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок MathEnc_LAlgebra не указан текст
  6. 6,0 6,1 6,2 Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок MathEnc_AAlgebra не указан текст
  7. Шаблон:Из
  8. Ошибка цитирования Неверный тег <ref>; для сносок MathEnc_UAlgebra не указан текст
  9. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»
  10. Шаблон:Cite web