Ідеальний газ

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти к навигации Перейти к поиску

Ідеа́льний газ ─ з позиції молекулярно-кінетичної теорії ─ являє собою теоретичну (математичну, фізичну) модель газу, в якій передбачається, що:

1) потенціальною енергією взаємодії матеріальних часток, що складають газ, можна знехтувати в порівнянні з їх кінетичною енергією;

2) сумарний об'єм частинок газу дуже малий або ним можна знехтувати;

3) між частинками немає далекодіючих сил тяжіння або відштовхування, зіткнення часток між собою і зі стінками посудини абсолютно пружні (відсутня кінетична енергія);

4) час взаємодії між частинками дуже малий в порівнянні із середнім часом між зіткненнями.

Існує ще розширена модель ідеального газу. (Див. нижче)

Вчення та моделі

Вчення про Ідеа́льний газ (ідеальні гази) сходить до відкритих в результаті не цілком точних експериментальних досліджень в XVII ─ XIX століттях газових законів Бойля ─ Маріотта, Гей-Люссака і Шарля, а також сформульованому Бенуа Клапейроном на їх основі об'єднаному рівнянню газового стану. В ті часи вважалося, що гази, на відміну від пари, не скраплюються і зберігають свій газоподібний стан у будь-якому температурному діапазоні. Розвиток кріогенної техніки спростував ці уявлення. Проте, газові закони збереглися в термодинаміці і в її технічних застосуваннях як принципово важливі закони ідеальних газів ─ граничних (практично недосяжних) станів реальних газів.

Під ідеальними газами в класичній термодинаміці маються на увазі гіпотетичні (реально не існуючі) гази, що строго підкоряються законам Бойля ─ Маріотта, Гей-Люссака і, відповідно, ─ рівнянню газового стану Клапейрона. Шаблон:Sfn (Рівняння Клапейрона також було теоретично виведене при деяких припущеннях на основі молекулярно — кінетичної теорії газів).

У розширеній моделі ідеального газу частинки, з якого він складається, мають форму пружних сфер або еліпсоїдів, що дозволяє враховувати енергію не тільки поступального, а й обертально-коливального руху, а також не тільки центральні, а й нецентральні зіткнення частинок.[1].

Файл:Benoit Clapeyron.png
Клапейрон вперше сформулював рівняння ідеального газу

Історія

Історія виникнення поняття про ідеальний газ безпосередньо пов'язана з успіхами експериментальної фізики, початок яким було покладено в XVII столітті. У 1643 р. Еванджеліста Торрічеллі вперше довів, що повітря має вагу (масу), і спільно з В. Вівіані провів дослід з вимірювання атмосферного тиску за допомогою запаяної з одного кінця скляної трубки, заповненої ртуттю. Так з'явився на світ перший ртутний барометр. У 1650 р. німецький фізик Отто фон Геріке винайшов вакуумне відкачування і провів в 1654 р. знаменитий експеримент з магдебурзькими півкулями, яким наочно підтвердив існування атмосферного тиску. Інший експеримент здійснив англійський фізик Роберт Бойль, на підставі якого в 1662 р. був сформульований газовий закон, названий згодом законом Бойля ─ МаріоттаШаблон:Sfn, у зв'язку з тим, що французький фізик Едм Маріотт в 1679 р. провів аналогічне незалежне дослідження. У 1802 році французький фізик Гей-Люссак опублікував в пресі закон об'ємів (що називається в російськомовній літературі законом Гей-Люссака)[2], проте сам Гей-Люссак вважав, що відкриття було зроблене Жаком Шарлем в неопублікованій роботі, що відноситься до 1787 року. Незалежно від них цей закон був відкритий в 1801 році англійським фізиком Джоном Дальтоном. Крім того, якісно, він був описаний французьким вченим Гiйомом Амонтоном наприкінці XVII століття. Гей-Люссак також встановив, що коефіцієнт об'ємного розширення однаковий для усіх газів, незважаючи на загальноприйняту думку, що різні гази розширюються при нагріванні по-різному. У 1834 році Бенуа Клапейрон об'єднав обидва ці закони в одне рівняння газового стану — рівняння Клапейрона, різновид якого часто називають у російськомовних джерелах рівнянням Клапейрона — Менделєєва.[3]. Експериментальні дослідження фізичних властивостей реальних газів в ті роки були недостатньо точними і проводилися в умовах, що не дуже відрізнялися від нормальних (температура 0 ℃, тиск 760 мм рт. стовпчика). Передбачалося також, що газ, на відміну від пари, є субстанцією, незмінною у будь-яких фізичних умовах. Першого удару за цими уявленнями завдало зріджування хлору в 1823 р. Надалі з'ясувалося, що реальні гази насправді є перегріті пари, досить віддалені від областей конденсації і критичного стану. Будь-який реальний газ може бути перетворений на рідину шляхом конденсації, або шляхом безперервних змін однофазного стану. Таким чином реальні гази являють собою один з агрегатних станів відповідних простих тіл, а точним рівнянням стану газу може бути рівняння стану простого тіла. Не дивлячись на це, газові закони збереглися в термодинаміці та в її технічних застосуваннях як закони ідеальних газів ─ граничних (практично недосяжних) станів реальних газів. Шаблон:Sfn Вперше поняття «Ідеальний газ» було введене Р. Клаузіусом.[4].

Розрізняють три типи ідеального газу[джерело?]Категорія:Статті з твердженнями без джерел:

Термодинаміка класичного ідеального газу

Термодинамічні властивості ідеального газу можна описати такими двома рівняннями: Стан класичного ідеального газу описується рівнянням стану ідеального газу:

<math>PV = nRT = Nk_B T\,</math>

Внутрішня енергія ідеального газу описується наступним рівнянням:

<math>U = \hat{c}_V nRT = \hat{c}_V Nk_B T</math>

де <math>\hat{c}_V</math> є константою (рівною, наприклад, 3/2 для одноатомного газу) і

Інші термодинамічні величини для одноатомного ідеального газу:

Вільна енергія:

<math> F = -Nk_B T \left( \text{ln}\,\left[\frac{V}{N} \left( \frac{mk_B T}{2\pi\hbar^2} \right)^{3/2}\right] + 1 \right) </math>,

де m — маса атома газу, <math> \hbar </math> — приведена стала Планка.

Хімічний потенціал

<math> \mu = k_B T \text{ln}\, \left[ \frac{N}{V} \left( \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B T} \right)^{3/2} \right]</math>

Термодинаміка Фермі-газу

  1. ПЕРЕНАПРАВЛЕННЯ Шаблон:Докладніше

Фермі-газ утворений з ферміонів — частинок, які не можуть перебувати в станах із однаковими квантовими числами. Ферміони підкоряються статистиці Фермі-Дірака. Прикладом ідеального Фермі-газу є електрони в металах.

Рівняння стану Фермі-газу записується в параметричному вигляді де параметром є величина хімічного потенціалу μ.

<math> P = \frac{g\sqrt{2}m^{3/2}(k_B T)^{5/2}}{3\pi^2\hbar^3} \int_0^\infty \frac{z^{3/2}dz}{e^{z-\mu/k_B T}+1} \,</math>,
<math> N = \frac{gVm^{3/2}}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{z}dz}{e^{z-\mu/k_B T}+1} </math>,

Інші позначення в цій формулі: g — фактор виродження (2 для електронів, у яких спін 1/2), <math> \hbar </math> — зведена стала Планка. Міняючи параметр μ і обчислюючи інтеграли, можна побудувати залежність тиску від об'єму для будь-якої температури й будь-якого числа частинок.

При високих температурах Фермі-газ поводить себе аналогічно класичному газу. Перша поправка до рівняння стану має вигляд:

<math> PV = Nk_B T \left(1 + \frac{\pi^{3/2}}{2g} \frac{N\hbar^3}{V(m k_B T)^{3/2}} \right) </math>.

Таким чином, тиск при тому ж об'ємі для Фермі-газу збільшується завдяки зумовленому принципом Паулі відштовхуванню між частками.

При низьких температурах та високих густинах Фермі-газ стає виродженим, і втрачає схожість із класичним ідеальним газом. Умова виродження задається нерівністю:

<math> T \ll T_F =\frac{\hbar^2}{k_B m} \left( \frac{N}{V} \right)^{2/3} </math>.

Температура <math>T_F </math> називається температурою виродження.

При виконанні цієї умови рівняння стану ідеального електронного газу має вигляд:

<math> P = \frac{(3\pi^2)^{2/3}}{5} \frac{\hbar^2}{m} \left( \frac{N}{V} \right)^{5/3}</math>.

Це рівняння справедливе також і для абсолютного нуля температури. Тиск виродженого Фермі-газу не залежить від температури.

Термодинаміка Бозе-газу

Ідеальний Бозе-газ скадається з бозонів. Відмінність від класичного газу в тому, що бозони неможливо жодним чином відрізнити один він одного і пронумерувати. Поведінка бозонів описується статистикою Бозе-Ейнштейна. Прикладом системи, яка складається з бозонів є світло.

Рівняння стану ідеального Бозе-газу записується у параметричному вигляді, який відрізняється від рівняння стану Фермі-газу лише знаком перед одиницею в знаменнику:

<math> P = \frac{g\sqrt{2}m^{3/2}(k_B T)^{5/2}}{3\pi^2\hbar^3} \int_0^\infty \frac{z^{3/2}dz}{e^{z-\mu/k_B T}-1} \,</math>,
<math> N = \frac{gVm^{3/2}}{\sqrt{2}\pi^2\hbar^3} \int_0^{\infty} \frac{\sqrt{z}dz}{e^{z-\mu/k_B T}-1} </math>,

де хімічний потенціал <math>\mu \le 0 </math>.

При високих температурах Бозе-газ поводить себе подібно до класичного газу. Перша поправка до рівняння стану

<math> PV = Nk_B T \left(1 - \frac{\pi^{3/2}}{2g} \frac{N\hbar^3}{V(m k_B T)^{3/2}} \right) </math>.

Тиск при тому ж об'ємі менший за тиск класичного газу, немов між частками Бозе-газу діє ефективне притягання.

При низьких температурах Бозе-газ вироджується, переходячи в конденсат Бозе — Ейнштейна.

Для Бозе-конденсату рівняння стану записується у вигляді:

<math> P =0,0851g \frac{m^{3/2} (k_B T)^{5/2}}{\hbar^3} </math>.

Тиск у ньому не залежить від об'єму.

Примітки

  1. Шаблон:±. Recherches sur la dilatation des gaz et des vapeurs // Annales de chimie. — 1802. — Шаблон:Бскор. — Шаблон:Бскор.
  2. Ошибка Lua: не удаётся создать процесс: proc_open(/var/log/nginx/wikiinfo_lua.error.log): failed to open stream: Permission denied Шаблон:Fr icon Facsimile at the Biblioth?que nationale de France (pp. 153—90).
  3. Шаблон:БСЭ3

Див. також

Джерела

  • Ошибка Lua: не удаётся создать процесс: proc_open(/var/log/nginx/wikiinfo_lua.error.log): failed to open stream: Permission denied, 415 с.
  • Ошибка Lua: не удаётся создать процесс: proc_open(/var/log/nginx/wikiinfo_lua.error.log): failed to open stream: Permission denied
  • Глосарій термінів з хімії // Й.Опейда, О.Швайка. Інститут фізико-органічної хімії та вуглехімії ім. Л. М. Литвиненка НАН України, Донецький національний університет — Донецьк: «Вебер», 2008. — 758 с. — ISBN 978-966-335-206-0

Категорія:Фізичні абстракції * Категорія:Математичні моделі Категорія:Термодинаміка